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人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解优秀同步训练题
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解优秀同步训练题，共13页。
运动的合成与分解同步练习
（答题时间：30分钟）
1. 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A. 物体做速度逐渐增大的曲线运动
B. 物体运动的加速度先减小后增大
C. 物体运动的初速度大小是50 m/s
D. 物体运动的初速度大小是10 m/s
2. 一质量为2 kg的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v－t图象和在y轴方向上的y－t图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A. 前2 s内物体做匀变速曲线运动
B. 物体的初速度为8 m/s
C. 2 s末物体的速度大小为8 m/s
D. 前2 s内物体所受的合外力为16 N
3. 如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A，用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B。在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l=H﹣t2（式中H为直升机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内（ ）
A. 悬索的拉力等于伤员的重力
B. 伤员处于超重状态
C. 从地面看，伤员做加速度大小、方向均不变的曲线运动
D. 从地面看，伤员做速度大小增加的直线运动
4. 如图所示，吊车以v1的速度沿水平直线向右匀速行驶，同时以v2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确的是 （ ）
A. 物体的实际运动速度为v1＋v2
B. 物体的实际运动速度为
C. 物体相对地面做曲线运动
D. 绳索保持竖直状态
5. 两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动轨迹有（ ）
A. 如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线
B. 如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C. 如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D. 如果，那么轨迹一定是直线
6. 在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和vy－t图象如图所示，求：
（1）运动后4 s内质点的最大速度的大小；
（2）4s末质点离坐标原点的距离。
运动的合成与分解同步练习参考答案
1.【答案】C
【解析】由图知，x方向的初速度沿x轴正方向，y方向的初速度沿y轴负方向，则合运动的初速度方向不在y轴方向上；x轴方向的分运动是匀速直线运动，加速度为零，y轴方向的分运动是匀变速直线运动，加速度沿y轴方向，所以合运动的加速度沿y轴方向，与合初速度方向不在同一直线上，因此物体做曲线运动。根据速度的合成可知，物体的速度先减小后增大，故A错误。物体运动的加速度等于y方向的加速度，保持不变，故B错误；根据图象可知物体的初速度为：v0＝＝＝50 m/s，故C正确，D错误，故选C。
2.【答案】A
【解析】物体在x轴方向上做初速度vx＝8 m/s、加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在y轴方向上做速度vy＝－4 m/s的匀速直线运动，运动轨迹如图中AP曲线所示，为一个抛物线，抛物线的顶点在P处。
物体所受合外力恒为8 N（方向为x轴负方向），初速度大小为82+42m/s2＝45m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故物体做匀变速曲线运动，A对，B、D错；2 s末，vx＝0，vy＝－4 m/s，则合速度为－4 m/s，C错。
3.【答案】BC
【解析】由l=H﹣t2可知伤员在竖直方向的运动是加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，竖直方向只受两个力的作用，所以悬索的拉力大于伤员的重力，所以A错误，B正确。
伤员在水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做匀加速直线运动，故C正确，D错。故选B、C。
4.【答案】BD
【解析】物体在两个方向均做匀速运动，因此合外力F＝0，绳索应在竖直方向，实际速度为，因此选项B、D正确。
5.【答案】AD
【解析】判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线。
6.【答案】（1）2m/s （2）8 m
【解析】（1）由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，
速度大小为vx＝2 m/s
在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为4 m/s
则运动后4 s内质点运动的最大速度的大小
vm＝＝2m/s
（2）0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，
2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小
a＝m/s2＝3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2＝s
则运动后4 s内沿y轴方向的位移
y＝×2×（2＋）m－×4×m＝0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移
由图象可知，4 s末质点离坐标原点的距离
s＝x＝8 m.
小船渡河问题同步练习
（答题时间：25分钟）
1. 小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（ ）
A. 水速小时，位移小，时间也小
B. 水速大时，位移大，时间也大
C. 水速大时，位移大，但时间不变
D. 位移、时间大小与水速大小无关
2. 一只小船渡河，运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定（ ）
A. 船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B. 船沿三条不同路径渡河的时间相同
C. 船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D. 船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
3. 如图所示，甲、乙两船在同一河岸边A、B两处，两船船头方向与河岸均成θ角，且恰好对准对岸边C点。若两船同时开始渡河，经过一段时间t，同时到达对岸，乙船恰好到达正对岸的D点。若河宽d、河水流速均恒定，两船在静水中的划行速率恒定，不影响各自的航行，下列判断正确的是（ ）
A. 两船在静水中的划行速率不同
B. 甲船渡河的路程有可能比乙船渡河的路程小
C. 两船同时到达D点
D. 河水流速为
4. 如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ）
A. m/s
B. m/s
C. 2 m/s
D. 4 m/s
5. 某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图所示。船在静水中的速度为4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A. 船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B. 船在河水中航行的轨迹是一条直线
C. 渡河的最短时间为240 s
D. 船离开河岸400 m时的速度大小为2m/s
6. 船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水靠近岸边的流速为2 m/s，河中间水的流速为3 m/s，以下说法正确的是（ ）
A. 船可能沿曲线过河
B. 因船速小于水流速度，船不能到达对岸
C. 船能垂直到达河正对岸
D. 船过河的最短时间是一定的
7. 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
（1）要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
（2）要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
小船渡河问题同步练习参考答案
1.【答案】C
【解析】小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定。水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小。
2.【答案】D
【解析】因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，D正确，故选D。
3.【答案】C
【解析】A. 由题意可知，两船渡河的时间相等，两船沿垂直河岸方向的分速度v1相等，由v1=vsinθ知两船在静水中的划行速率v相等，选项A错误；
B. 乙船沿BD到达D点，可见河水流速v水方向沿AB方向，可见甲船不可能到达到正对岸，甲船渡河的路程较大，选项B错误；
C. 由于甲船沿AB方向的位移大小x=（vcsθ+v水）t==AB，可见两船同时到达D点，选项C正确；
D. 根据速度的合成与分解，v水=vcsθ，而vsinθ=，得v水=，选项D错误。
4.【答案】C
【解析】如图所示，
当小船刚好在危险区交界点靠岸时，是临界状态，则由题中的几何关系可知，速度方向与合位移夹角方向为30°，则船在静水中的速度最小时，必与合位移垂直，由几何关系可知，vmin＝v水sin 30°＝2 m/s，故选项C正确。
5.【答案】AD
【解析】若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河的最短时间为tmin＝＝s＝150 s，选项C错误；船离开河岸400 m时的水流速度大小与船离开河岸200 m时的水流速度大小相等，即v水＝×200 m/s＝2 m/s，则船离开河岸400 m时的速度大小为v′＝m/s＝2m/s，选项D正确。
6.【答案】AD
【解析】当船头指向始终垂直河岸时，船的合运动方向始终变化，船沿曲线过河，选项A正确；只要船的合速度具有垂直河岸方向的分量，船就能到达对岸，选项B错误；因为船速小于水流速度，船的合速度不可能垂直对岸，所以船不能垂直到达河对岸，选项C错误；当船头垂直河岸渡河时，船过河的时间最短，并且船过河的最短时间是一定的，等于河宽除以船在静水中的速度，选项D正确。
7.【答案】（1）船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
（2）船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
【解析】（1）如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝s＝50 s。
（2）如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200 m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有csα＝＝，解得α＝60°。
关联速度问题同步练习
（答题时间：25分钟）
1. 如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx的大小为（ ）
A. 小船做变加速运动，vx＝
B. 小船做变加速运动，vx＝v0csα
C. 小船做匀速直线运动，vx＝
D. 小船做匀速直线运动，vx＝v0csα
2. 如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将（ ）
A. 逐渐增大B. 先减小后增大
C. 先增大后减小D. 逐渐减小
3. 如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A. 小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B. 小环到达B处时，重物上升的高度约为（－1）d
C. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
4. 如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 物体A做加速运动
B. 物体A做匀速运动
C. FT可能小于mgsinθ
D. FT一定大于mgsinθ
5. 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车匀速地从B点运动到M点，再运动到N点的过程中，关于物体A的运动和受力情况，下列说法正确的是（ ）
A. 物体A也做匀速直线运动
B. 物体A的速度可能为零
C. 绳的拉力总是等于A的重力
D. 绳的拉力总是大于A的重力
6. 如图所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面上的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为vA和vB，则vA和vB的比值为多少？
关联速度问题同步练习参考答案
1.【答案】A
【解析】如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动。
2.【答案】A
【解析】设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点运动的线速度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点运动的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，小环的速度将不断变大，故A正确，B、C、D错误。
3.【答案】ABD
【解析】如图所示，将小环速度v进行正交分解如图所示，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1＝vcs45°＝v，所以，小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。小环释放后，v增加，θ减小，而v1＝vcsθ，v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝（－1）d，B项正确。
4.【答案】AD
【解析】由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示，
根据平行四边形定则，可有：vBsinα=v绳；因B以速度v0匀速下滑，又α在增大，所以绳子速度在增大，则A处于加速运动，根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有：FT＞mgsinθ，故A、D正确，B、C错误；故选A、D。
5.【答案】BD
【解析】设和小车连接的绳子与水平面的夹角为θ，小车的速度为v，则这个速度分解为沿绳方向向上和垂直绳方向向下的速度，解三角形得绳方向的速度为vcsθ，随着小车匀速向左运动，显然θ逐渐先增大后减小，所以绳方向的分速度先越来越小后越来越大，又知物体A的速度与绳方向分速度大小一样，则在小车从右向左匀速行驶的过程中物体A先向下做减速运动，然后向上做加速运动，加速度始终向上，当小车到达M点时，绳子的速度为零，则物体A的速度也为零。则由牛顿第二定律得：F－mg＝ma，即F＝mg＋ma，因此，绳的拉力总大于物体A的重力，故选项A、C错误，选项B、D正确。
6.【答案】csβ∶csα
【解析】物体B实际的运动（合运动）水平向右，根据它的实际运动效果可知，两分运动分别为沿绳方向的分运动（设其速度为v1）和垂直绳方向的分运动（设其速度为v2）。如图甲所示，
有v1＝vBcsβ①
汽车A实际的运动（合运动）水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳方向的分运动（设其速度为v3）和垂直绳方向的分运动（设其速度为v4）。如图乙所示，则有v3＝vAcsα②
又因二者沿绳子方向上的速度相等，即v1＝v3③
由①②③式得
vA∶vB＝csβ∶csα。
运动的合成与分解同步练习
（答题时间：30分钟）
1. 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A. 物体做速度逐渐增大的曲线运动
B. 物体运动的加速度先减小后增大
C. 物体运动的初速度大小是50 m/s
D. 物体运动的初速度大小是10 m/s
2. 一质量为2 kg的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v－t图象和在y轴方向上的y－t图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A. 前2 s内物体做匀变速曲线运动
B. 物体的初速度为8 m/s
C. 2 s末物体的速度大小为8 m/s
D. 前2 s内物体所受的合外力为16 N
3. 如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A，用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B。在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l=H﹣t2（式中H为直升机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内（ ）
A. 悬索的拉力等于伤员的重力
B. 伤员处于超重状态
C. 从地面看，伤员做加速度大小、方向均不变的曲线运动
D. 从地面看，伤员做速度大小增加的直线运动
4. 如图所示，吊车以v1的速度沿水平直线向右匀速行驶，同时以v2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确的是 （ ）
A. 物体的实际运动速度为v1＋v2
B. 物体的实际运动速度为
C. 物体相对地面做曲线运动
D. 绳索保持竖直状态
5. 两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动轨迹有（ ）
A. 如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线
B. 如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C. 如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D. 如果，那么轨迹一定是直线
6. 在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和vy－t图象如图所示，求：
（1）运动后4 s内质点的最大速度的大小；
（2）4s末质点离坐标原点的距离。
运动的合成与分解同步练习参考答案
1.【答案】C
【解析】由图知，x方向的初速度沿x轴正方向，y方向的初速度沿y轴负方向，则合运动的初速度方向不在y轴方向上；x轴方向的分运动是匀速直线运动，加速度为零，y轴方向的分运动是匀变速直线运动，加速度沿y轴方向，所以合运动的加速度沿y轴方向，与合初速度方向不在同一直线上，因此物体做曲线运动。根据速度的合成可知，物体的速度先减小后增大，故A错误。物体运动的加速度等于y方向的加速度，保持不变，故B错误；根据图象可知物体的初速度为：v0＝＝＝50 m/s，故C正确，D错误，故选C。
2.【答案】A
【解析】物体在x轴方向上做初速度vx＝8 m/s、加速度a＝－4 m/s2的匀减速直线运动，在y轴方向上做速度vy＝－4 m/s的匀速直线运动，运动轨迹如图中AP曲线所示，为一个抛物线，抛物线的顶点在P处。
物体所受合外力恒为8 N（方向为x轴负方向），初速度大小为82+42m/s2＝45m/s，方向与合外力方向不在同一条直线上，故物体做匀变速曲线运动，A对，B、D错；2 s末，vx＝0，vy＝－4 m/s，则合速度为－4 m/s，C错。
3.【答案】BC
【解析】由l=H﹣t2可知伤员在竖直方向的运动是加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，竖直方向只受两个力的作用，所以悬索的拉力大于伤员的重力，所以A错误，B正确。
伤员在水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做匀加速直线运动，故C正确，D错。故选B、C。
4.【答案】BD
【解析】物体在两个方向均做匀速运动，因此合外力F＝0，绳索应在竖直方向，实际速度为，因此选项B、D正确。
5.【答案】AD
【解析】判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线。
6.【答案】（1）2m/s （2）8 m
【解析】（1）由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，
速度大小为vx＝2 m/s
在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为4 m/s
则运动后4 s内质点运动的最大速度的大小
vm＝＝2m/s
（2）0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，
2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小
a＝m/s2＝3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2＝s
则运动后4 s内沿y轴方向的位移
y＝×2×（2＋）m－×4×m＝0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移
由图象可知，4 s末质点离坐标原点的距离
s＝x＝8 m.
小船渡河问题同步练习
（答题时间：25分钟）
1. 小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（ ）
A. 水速小时，位移小，时间也小
B. 水速大时，位移大，时间也大
C. 水速大时，位移大，但时间不变
D. 位移、时间大小与水速大小无关
2. 一只小船渡河，运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定（ ）
A. 船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B. 船沿三条不同路径渡河的时间相同
C. 船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D. 船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
3. 如图所示，甲、乙两船在同一河岸边A、B两处，两船船头方向与河岸均成θ角，且恰好对准对岸边C点。若两船同时开始渡河，经过一段时间t，同时到达对岸，乙船恰好到达正对岸的D点。若河宽d、河水流速均恒定，两船在静水中的划行速率恒定，不影响各自的航行，下列判断正确的是（ ）
A. 两船在静水中的划行速率不同
B. 甲船渡河的路程有可能比乙船渡河的路程小
C. 两船同时到达D点
D. 河水流速为
4. 如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ）
A. m/s
B. m/s
C. 2 m/s
D. 4 m/s
5. 某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图所示。船在静水中的速度为4 m/s，要想使船渡河的时间最短，下列说法正确的是（ ）
A. 船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B. 船在河水中航行的轨迹是一条直线
C. 渡河的最短时间为240 s
D. 船离开河岸400 m时的速度大小为2m/s
6. 船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水靠近岸边的流速为2 m/s，河中间水的流速为3 m/s，以下说法正确的是（ ）
A. 船可能沿曲线过河
B. 因船速小于水流速度，船不能到达对岸
C. 船能垂直到达河正对岸
D. 船过河的最短时间是一定的
7. 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
（1）要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
（2）要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
小船渡河问题同步练习参考答案
1.【答案】C
【解析】小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定。水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小。
2.【答案】D
【解析】因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，D正确，故选D。
3.【答案】C
【解析】A. 由题意可知，两船渡河的时间相等，两船沿垂直河岸方向的分速度v1相等，由v1=vsinθ知两船在静水中的划行速率v相等，选项A错误；
B. 乙船沿BD到达D点，可见河水流速v水方向沿AB方向，可见甲船不可能到达到正对岸，甲船渡河的路程较大，选项B错误；
C. 由于甲船沿AB方向的位移大小x=（vcsθ+v水）t==AB，可见两船同时到达D点，选项C正确；
D. 根据速度的合成与分解，v水=vcsθ，而vsinθ=，得v水=，选项D错误。
4.【答案】C
【解析】如图所示，
当小船刚好在危险区交界点靠岸时，是临界状态，则由题中的几何关系可知，速度方向与合位移夹角方向为30°，则船在静水中的速度最小时，必与合位移垂直，由几何关系可知，vmin＝v水sin 30°＝2 m/s，故选项C正确。
5.【答案】AD
【解析】若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河的最短时间为tmin＝＝s＝150 s，选项C错误；船离开河岸400 m时的水流速度大小与船离开河岸200 m时的水流速度大小相等，即v水＝×200 m/s＝2 m/s，则船离开河岸400 m时的速度大小为v′＝m/s＝2m/s，选项D正确。
6.【答案】AD
【解析】当船头指向始终垂直河岸时，船的合运动方向始终变化，船沿曲线过河，选项A正确；只要船的合速度具有垂直河岸方向的分量，船就能到达对岸，选项B错误；因为船速小于水流速度，船的合速度不可能垂直对岸，所以船不能垂直到达河对岸，选项C错误；当船头垂直河岸渡河时，船过河的时间最短，并且船过河的最短时间是一定的，等于河宽除以船在静水中的速度，选项D正确。
7.【答案】（1）船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
（2）船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
【解析】（1）如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝s＝50 s。
（2）如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200 m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有csα＝＝，解得α＝60°。
关联速度问题同步练习
（答题时间：25分钟）
1. 如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx的大小为（ ）
A. 小船做变加速运动，vx＝
B. 小船做变加速运动，vx＝v0csα
C. 小船做匀速直线运动，vx＝
D. 小船做匀速直线运动，vx＝v0csα
2. 如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将（ ）
A. 逐渐增大B. 先减小后增大
C. 先增大后减小D. 逐渐减小
3. 如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A. 小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B. 小环到达B处时，重物上升的高度约为（－1）d
C. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
4. 如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 物体A做加速运动
B. 物体A做匀速运动
C. FT可能小于mgsinθ
D. FT一定大于mgsinθ
5. 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车匀速地从B点运动到M点，再运动到N点的过程中，关于物体A的运动和受力情况，下列说法正确的是（ ）
A. 物体A也做匀速直线运动
B. 物体A的速度可能为零
C. 绳的拉力总是等于A的重力
D. 绳的拉力总是大于A的重力
6. 如图所示，水平面上有一汽车A，通过定滑轮用绳子拉同一水平面上的物体B，当拉至图示位置时，两绳子与水平面的夹角分别为α、β，二者速度分别为vA和vB，则vA和vB的比值为多少？
关联速度问题同步练习参考答案
1.【答案】A
【解析】如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动。
2.【答案】A
【解析】设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点运动的线速度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点运动的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，小环的速度将不断变大，故A正确，B、C、D错误。
3.【答案】ABD
【解析】如图所示，将小环速度v进行正交分解如图所示，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1＝vcs45°＝v，所以，小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。小环释放后，v增加，θ减小，而v1＝vcsθ，v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝（－1）d，B项正确。
4.【答案】AD
【解析】由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示，
根据平行四边形定则，可有：vBsinα=v绳；因B以速度v0匀速下滑，又α在增大，所以绳子速度在增大，则A处于加速运动，根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有：FT＞mgsinθ，故A、D正确，B、C错误；故选A、D。
5.【答案】BD
【解析】设和小车连接的绳子与水平面的夹角为θ，小车的速度为v，则这个速度分解为沿绳方向向上和垂直绳方向向下的速度，解三角形得绳方向的速度为vcsθ，随着小车匀速向左运动，显然θ逐渐先增大后减小，所以绳方向的分速度先越来越小后越来越大，又知物体A的速度与绳方向分速度大小一样，则在小车从右向左匀速行驶的过程中物体A先向下做减速运动，然后向上做加速运动，加速度始终向上，当小车到达M点时，绳子的速度为零，则物体A的速度也为零。则由牛顿第二定律得：F－mg＝ma，即F＝mg＋ma，因此，绳的拉力总大于物体A的重力，故选项A、C错误，选项B、D正确。
6.【答案】csβ∶csα
【解析】物体B实际的运动（合运动）水平向右，根据它的实际运动效果可知，两分运动分别为沿绳方向的分运动（设其速度为v1）和垂直绳方向的分运动（设其速度为v2）。如图甲所示，
有v1＝vBcsβ①
汽车A实际的运动（合运动）水平向右，根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳方向的分运动（设其速度为v3）和垂直绳方向的分运动（设其速度为v4）。如图乙所示，则有v3＝vAcsα②
又因二者沿绳子方向上的速度相等，即v1＝v3③
由①②③式得
vA∶vB＝csβ∶csα。
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