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高中物理人教版 (2019)必修 第二册1 功与功率优秀学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册1 功与功率优秀学案，共16页。学案主要包含了功的正负，总功的两种求解思路等内容，欢迎下载使用。
功的计算
一、功
1. 概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
2. 做功的两个因素。
（1）物体受力的作用。
（2）物体在力的方向上发生了位移。
3. 功的公式。
（1）力F与位移l同向时，W＝Fl。
（2）力F与位移l夹角为α时，W＝Flcsα。
其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小和力与位移方向的夹角。
4. 功的单位。
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功，即1 J＝1 N·m。
5. 功是标量。
功有正负之分，但是功只有大小，没有方向。
二、功的正负
1. 功的正负不表示大小，只表示做功的力是阻力还是动力。
2. 功的正负的判断
三、总功的两种求解思路
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
1. 先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α求合外力的功。
2. 先根据W＝Flcsα，求每个分力做的功W1，W2，…，Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
1. 如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（ ）
A. F对木块做功为Fl
B. F对木块做功为F（l＋d）
C. F对子弹做功为－Fd
D. F对子弹做功为－F（l＋d）
【答案】AD
【解析】木块的位移为l，由W＝Flcsα得，F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W＝－F（l＋d）。故A、D正确。
2. 如图所示，A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移。用FT、FAB和FBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列叙述中正确的是（ ）
A. F做正功，FAB做负功，FBA做正功，FT不做功
B. F和FBA做正功，FAB和FT做负功
C. F做正功，其他力都不做功
D. F做正功，FAB做负功，FBA和FT都不做功
【答案】D
【解析】力F与物体B的位移同向，故F做正功；FAB与物体B的位移反向，故FAB做负功；FBA作用在A上，A静止不动，故FBA不做功；绳子的拉力FT作用在A和墙上，二者均静止不动，故FT不做功。综上所述，D正确。
如图甲所示，在风洞实验室里，一根足够长的细杆水平固定，某金属小球穿在细杆上静止于细杆左端，现有水平向右的风力F作用于小球上，风力F随时间t变化的F－t图象如图乙所示，小球沿细杆运动的v－t图象如图丙所示，取g＝10 m/s2，试求：在0～5 s内风力所做的功。
【答案】18 J
【解析】由题图丙可知0～2 s为加速阶段，a＝＝m/s2＝1m/s2
0～2s内的位移：x1＝at＝×1×4m＝2 m，
2 s～5s内的位移：x2＝vt2＝2×3m＝6 m，
则风力做功为W＝F1x1＋F2x2＝18J。
1. 功的计算公式：W＝Flcsα。其中α为力F和位移l之间的夹角。
2. 功的正负：（1）0≤α<时，力做正功
（2）α＝时，力不做功
（3）<α≤π时，力做负功
3. 总功的求解：（1）先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α求合外力的功。
（2）先求每个分力做的功，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
（答题时间：30分钟）
1. 质量为m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图所示，g取10 m/s2，则（ ）
A. 拉力F的大小为100 N
B. 物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C. 4 s内拉力所做的功为480 J
D. 4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
2. 如图所示，质量为m的物体P放在光滑的倾角为θ的斜面体上，同时用力F向右推斜面体，使P与斜面体保持相对静止。在前进的水平位移为l的过程中，斜面体对P做功为（ ）
A. FlB. mgsinθ·lC. mgcsθ·lD. mgtanθ·l
3. 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图（甲）和（乙）所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是 （ ）
A. W1＝W2＝W3B. W1
C. W1
4.（多选）如图所示，一恒力F通过一动滑轮拉物体沿光滑水平面前进了s，在运动过程中，F与水平方向保持θ角，则拉力F对物体做的功为（ ）
A. FscsθB. 2Fscsθ
C. Fs（1＋csθ）D. 2Fscs2
5.（多选）如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上的质量为m的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x0，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x0。物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则（ ）
A. 撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B. 撤去F后，物体刚运动时的加速度为－μg
C. 物体做匀减速运动的时间为2
D. 物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg（x0－）
6. 一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在这个运动过程中F做的功为（ ）
A. 4 J B. 18 JC. 20 JD. 22 J
7. 如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25。求这一过程中：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8）
（1）物体的重力所做的功；
（2）摩擦力所做的功；
（3）物体所受各力的合力所做的功。
1.【答案】B
【解析】由图象可得：0～2 s内物体做匀减速直线运动，加速度大小为：a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速过程有F＋Ff＝ma1。匀加速过程加速度大小为a2＝＝m/s2＝1 m/s2，有F－Ff＝ma2，解得Ff＝40 N，F＝60 N，故A错误。物体在4 s时拉力的瞬时功率为P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正确。4 s内物体通过的位移为x＝（×2×10－×2×2）m＝8 m，拉力做功为W＝－Fx＝－480 J，故C错误。4 s内物体通过的路程为s＝（×2×10＋×2×2） m＝12 m，摩擦力做功为Wf＝－Ffs＝－40×12 J＝－480 J，故D错误。
2.【答案】D
【解析】斜面对P的作用力垂直于斜面，其竖直分量为mg，所以水平分量为mgtanθ，做功为水平分量的力乘以水平位移。
3.【答案】B
【解析】解析：由v-t图像可知，物体在第1秒内的位移为x1=0.5m、第2秒内的位移为x2=0.5m、第3秒内的位移为x3=1m；故第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1=F1x1=0.5J、W2=F2x2=1.5J、W3=F3x3=2J。故有W1
4.【答案】CD
【解析】对F的端点分析，F的作用力沿F的方向移动了，由题意可知，当物体向右移动s时，力的作用点沿力方向移动s的同时也会随滑轮向右移动s，则力的作用点的合位移如图所示，则s合＝2scs，则F对物体做功W＝Fs合cs＝2Fscs2由数学知识可知：2Fscs2＝Fs（1＋csθ）。
5.【答案】BD
【解析】撤去F后，在物体离开弹簧的过程中，弹簧弹力是变力，物体先做变加速运动，离开弹簧之后做匀减速运动，故A错；刚开始时，由kx0－μmg＝ma可知B正确；离开弹簧之后做匀减速运动，减速时间满足3x0＝a1t2，a1＝μg则t＝，C错；速度最大时合力为零，此时弹簧弹力F＝μmg＝kx，x＝，所以物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为Wf＝μmg（x0－x）＝μmg（x0－），D正确。
6.【答案】B
【解析】方法一 由图可知F在整个过程中做功分为三个小过程，分别做功为
W1＝2×2 J＝4 J，W2＝－1×2 J＝－2 J
W3＝4×4 J＝16 J，
所以W＝W1＋W2＋W3＝4 J＋（－2）J＋16 J＝18 J。
方法二 F－x图象中图线与x轴所围成的面积表示做功的多少，x轴上方为正功，下方为负功，总功取三部分的代数和，即（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，B正确。
7.【答案】（1）－3 000 J （2）－1 000 J （3）0
【解析】物体受力情况如图所示
（1）WG＝－mgLsinθ＝－3 000 J
（2）Ff＝μFN＝μmgcsθ
Wf＝－FfL＝－μmgcsθ·L
＝－1 000 J
（3）解法一：WF＝FL＝4 000 J
W＝WF＋WG＋Wf＝0
解法二：物体做匀速运动，F合＝0
故W＝0。
功率及机车启动问题
一、功率
1. 定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2. 公式：P＝单位：瓦特，简称瓦，符号W。
3. 意义：功率是表示物体做功快慢的物理量。
4. 功率是标量。
5. 额定功率和实际功率
（1）额定功率：机械允许长时间正常工作时的最大功率。发动机铭牌上的功率指的就是额定功率。
（2）实际功率：机械实际工作时的输出功率。发动机的实际功率不能长时间大于额定功率，否则会损坏机械。
二、功率与速度
1. 功率与速度关系式：P＝Fv（F与v方向相同）。
2. 应用：由功率速度关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
三、机车的两种启动方式
1. P＝Fv三个量的制约关系：
2. 两种启动方式的过程分析
3. 机车启动问题中几个物理量的求法
（1）机车的最大速度vm的求法，机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法，牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法，据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍（g取10 m/s2），求：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小。
【答案】（1）逐渐减小 （2）m/s （3）10 m/s
【解析】（1）汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律F－Ff＝ma知，汽车的加速度减小。
（2）由F－Ff＝ma1①
P＝Fv1②
联立①②代入数据得：v1＝m/s
（3）当汽车速度达到最大时，a2＝0，F2＝Ff，P＝P额，故
vmax＝＝m/s＝10 m/s。
放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. 物体的质量为kg
B. 滑动摩擦力的大小为5 N
C. 0～6 s内物体的位移大小为40 m
D. 0～6 s内拉力做的功为20 J
【答案】A
【解析】在2～6s内，Ff＝F＝N；当P＝30 W时，v＝6 m/s，得到牵引力为：F1＝＝N＝5 N；0～2s内物体的加速度为：a＝＝m/s2＝3m/s2，根据F－Ff＝ma可知：m＝kg＝kg，A正确；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速直线运动，F＝Ff，则滑动摩擦力为：Ff＝N，B错误；0～6 s内物体的位移大小等于v－t图象中图象与坐标轴所包围的面积，为：x＝（×2×6＋4×6）m＝30 m，C错误； 0～2 s内物体的加速度为：a＝＝m/s2＝3m/s2，由图可知，当P＝30W时，v＝6m/s，牵引力F1＝5 N，在0～2s内物体位移为x1＝6m，则拉力做的功为：W1＝F1x1＝5×6J＝30 J，2～6s内拉力做的功为：W2＝Pt＝10×4J＝40 J，0～6s内拉力做的总功为：W＝（30＋40）J＝70 J，D错误。
1. 功率：（1）平均功率：P＝
（2）瞬时功率：P=Fvm=P额/F阻
2. 两种启动方式的过程分析
（答题时间：30分钟）
1. 水平面上一质量为m的物体，在水平力F作用下开始加速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程所受的阻力Ff大小不变，物体速度最终达到稳定值vm，F作用过程物体的速度v的倒数与加速度a的关系图象如图所示，仅在已知功率P的情况下，根据图象所给的信息（ ）
A. 可求出m，Ff和vm
B. 不能求出m
C. 不能求出Ff
D. 可求出加速运动时间
2. 起重机将质量为m的货物由静止开始以加速度a匀加速提升，在t时间内上升h高度，设在t时间内起重机对货物的拉力做的功为W、平均功率为，则（ ）
A. W＝mah
B. W＝mgh
C. ＝
D. ＝
3. 一辆质量为m的轿车，在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒为Ff。则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图象正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示为某汽车在平直公路上启动时发动机功率P随时间t变化的图象，P0为发动机的额定功率。已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，汽车所受阻力不变。由此可得（ ）
A. 在t3时刻，汽车速度一定等于vm
B. 在t1～t2时间内，汽车一定做匀速运动
C. 在t2～t3时间内，汽车一定做匀速运动
D. 在发动机功率达到额定功率前，汽车一定做匀加速运动
5. 质量为m＝5.0×106kg的列车以恒定不变的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到v1＝2 m/s时，加速度a1＝0.9 m/s2，当速度增大到v2＝10 m/s时，加速度a2＝0.1 m/s2，如果列车所受阻力大小不变，求：
（1）列车所受阻力是多少？
（2）在该功率下列车的最大速度是多少？
6. 质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变。求：
（1）汽车所受阻力的大小；
（2）3 s末汽车的瞬时功率；
（3）汽车做匀加速运动的时间；
（4）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功；
1.【答案】A
【解析】当加速度为零时，物体做匀速运动，此时的牵引力等于阻力，速度为最大值；由功率的计算公式可得P＝Fv，而F－Ff＝ma，联立可得＝a＋，由图象可得斜率为，因此可求出m、Ff和vm，故A正确；物体做变加速运动，加速运动的时间不可求，故D错误。
2.【答案】D
【解析】对货物进行受力分析，货物受重力和起重机对货物的拉力F，根据牛顿第二定律得：F－mg＝ma，解得：F＝m（a＋g），上升h高度，起重机对货物拉力做功W＝Fh＝m（a＋g）h，故A、B错误；由于货物做匀加速运动，平均速度等于过程中的中间时刻速度，所以在t时间内的平均速度为＝at，起重机对货物拉力做功平均功率为＝F＝ma（a＋g）t，故C错误，D正确。
3.【答案】ACD
【解析】由于启动阶段轿车受到的牵引力不变，加速度不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不增加了，再增加速度，就须减小牵引力，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝＝，所以A、C、D正确，B错误。
4.【答案】AC
【解析】已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，此后汽车做匀速直线运动，速度不变，所以在t3时刻，汽车速度一定等于vm，故A正确；0～t1时间内汽车的功率均匀增加，汽车所受阻力不变，牵引力不变，汽车做匀加速直线运动；汽车的功率在t1时刻达到额定功率，根据P＝Fv，速度继续增大，牵引力减小，加速度减小，则在t1～t2时间内汽车做加速度减小的加速运动，故B错误；在t2～t3时间内，汽车已达到最大速度，且功率保持不变，汽车一定做匀速直线运动，故C正确；由此分析知，在发动机功率达到额定功率前，汽车先做匀加速运动，后做加速度减小的变加速运动，故D错误。
5.【答案】（1）5.0×105N （2）20 m/s
【解析】（1）设列车恒定不变的功率为P，大小不变的阻力为Ff，当列车速度增大到v1＝2 m/s时，P＝F1v1①
由牛顿第二定律可得：F1－Ff＝ma1②
当列车速度增大到v2＝10 m/s时，P＝F2v2③
由牛顿第二定律可得：F2－Ff＝ma2④
将①、③分别代入②、④联立方程可解得：
P＝1.0×107W，Ff＝5.0×105N
（2）该功率下列车以最大速度行驶时，牵引力等于阻力，有P＝Fvm＝Ffvm
解得vm＝＝20 m/s。
6.【答案】（1）4 000 N （2）4.8×104W （3）5 s （4）2×105J
【解析】（1）以最大速度行驶时，根据P＝Fv，得F＝4 000 N。而此时牵引力和阻力大小相等。
（2）3 s时的速度v＝at＝6m/s，而牵引力由F－Ff＝ma得F＝8 000 N，故此时的功率为P＝Fv＝4.8×104W。
（3）设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v＝at，这时汽车的功率为额定功率。由P＝Fv，将F＝8 000 N和v＝at代入得t＝5 s。
（4）匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功W＝Fl＝Fat2＝8000××2×52J＝2×105J
重难点
题型
分值
重点
功的计算及正负
选择
计算
6-8分
难点
功的正负的含义及判定
α的取值
cs α
功的正负
物理意义
0≤α<
cs α>0
W>0，力做正功
做功的力是动力
α＝
cs α＝0
W＝0，力不做功
力既不是动力，也不是阻力
<α≤π
cs α<0
W<0，力做负功
做功的力是阻力
重难点
题型
分值
重点
功率的意义及计算
选择
计算
8-10分
难点
机车启动问题的分析及应用
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
以额定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和
v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
以额定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和
v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
功的计算
一、功
1. 概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
2. 做功的两个因素。
（1）物体受力的作用。
（2）物体在力的方向上发生了位移。
3. 功的公式。
（1）力F与位移l同向时，W＝Fl。
（2）力F与位移l夹角为α时，W＝Flcsα。
其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小和力与位移方向的夹角。
4. 功的单位。
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功，即1 J＝1 N·m。
5. 功是标量。
功有正负之分，但是功只有大小，没有方向。
二、功的正负
1. 功的正负不表示大小，只表示做功的力是阻力还是动力。
2. 功的正负的判断
三、总功的两种求解思路
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
1. 先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α求合外力的功。
2. 先根据W＝Flcsα，求每个分力做的功W1，W2，…，Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
1. 如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则（ ）
A. F对木块做功为Fl
B. F对木块做功为F（l＋d）
C. F对子弹做功为－Fd
D. F对子弹做功为－F（l＋d）
【答案】AD
【解析】木块的位移为l，由W＝Flcsα得，F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W＝－F（l＋d）。故A、D正确。
2. 如图所示，A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F将B拉着右移。用FT、FAB和FBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列叙述中正确的是（ ）
A. F做正功，FAB做负功，FBA做正功，FT不做功
B. F和FBA做正功，FAB和FT做负功
C. F做正功，其他力都不做功
D. F做正功，FAB做负功，FBA和FT都不做功
【答案】D
【解析】力F与物体B的位移同向，故F做正功；FAB与物体B的位移反向，故FAB做负功；FBA作用在A上，A静止不动，故FBA不做功；绳子的拉力FT作用在A和墙上，二者均静止不动，故FT不做功。综上所述，D正确。
如图甲所示，在风洞实验室里，一根足够长的细杆水平固定，某金属小球穿在细杆上静止于细杆左端，现有水平向右的风力F作用于小球上，风力F随时间t变化的F－t图象如图乙所示，小球沿细杆运动的v－t图象如图丙所示，取g＝10 m/s2，试求：在0～5 s内风力所做的功。
【答案】18 J
【解析】由题图丙可知0～2 s为加速阶段，a＝＝m/s2＝1m/s2
0～2s内的位移：x1＝at＝×1×4m＝2 m，
2 s～5s内的位移：x2＝vt2＝2×3m＝6 m，
则风力做功为W＝F1x1＋F2x2＝18J。
1. 功的计算公式：W＝Flcsα。其中α为力F和位移l之间的夹角。
2. 功的正负：（1）0≤α<时，力做正功
（2）α＝时，力不做功
（3）<α≤π时，力做负功
3. 总功的求解：（1）先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcs α求合外力的功。
（2）先求每个分力做的功，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功。即合力做的功等于各个分力做功的代数和。
（答题时间：30分钟）
1. 质量为m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动。0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图所示，g取10 m/s2，则（ ）
A. 拉力F的大小为100 N
B. 物体在4 s时拉力的瞬时功率为120 W
C. 4 s内拉力所做的功为480 J
D. 4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
2. 如图所示，质量为m的物体P放在光滑的倾角为θ的斜面体上，同时用力F向右推斜面体，使P与斜面体保持相对静止。在前进的水平位移为l的过程中，斜面体对P做功为（ ）
A. FlB. mgsinθ·lC. mgcsθ·lD. mgtanθ·l
3. 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图（甲）和（乙）所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是 （ ）
A. W1＝W2＝W3B. W1
C. W1
4.（多选）如图所示，一恒力F通过一动滑轮拉物体沿光滑水平面前进了s，在运动过程中，F与水平方向保持θ角，则拉力F对物体做的功为（ ）
A. FscsθB. 2Fscsθ
C. Fs（1＋csθ）D. 2Fscs2
5.（多选）如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上的质量为m的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x0，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x0。物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则（ ）
A. 撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B. 撤去F后，物体刚运动时的加速度为－μg
C. 物体做匀减速运动的时间为2
D. 物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg（x0－）
6. 一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在这个运动过程中F做的功为（ ）
A. 4 J B. 18 JC. 20 JD. 22 J
7. 如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25。求这一过程中：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8）
（1）物体的重力所做的功；
（2）摩擦力所做的功；
（3）物体所受各力的合力所做的功。
1.【答案】B
【解析】由图象可得：0～2 s内物体做匀减速直线运动，加速度大小为：a1＝＝ m/s2＝5 m/s2，匀减速过程有F＋Ff＝ma1。匀加速过程加速度大小为a2＝＝m/s2＝1 m/s2，有F－Ff＝ma2，解得Ff＝40 N，F＝60 N，故A错误。物体在4 s时拉力的瞬时功率为P＝Fv＝60×2 W＝120 W，故B正确。4 s内物体通过的位移为x＝（×2×10－×2×2）m＝8 m，拉力做功为W＝－Fx＝－480 J，故C错误。4 s内物体通过的路程为s＝（×2×10＋×2×2） m＝12 m，摩擦力做功为Wf＝－Ffs＝－40×12 J＝－480 J，故D错误。
2.【答案】D
【解析】斜面对P的作用力垂直于斜面，其竖直分量为mg，所以水平分量为mgtanθ，做功为水平分量的力乘以水平位移。
3.【答案】B
【解析】解析：由v-t图像可知，物体在第1秒内的位移为x1=0.5m、第2秒内的位移为x2=0.5m、第3秒内的位移为x3=1m；故第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1=F1x1=0.5J、W2=F2x2=1.5J、W3=F3x3=2J。故有W1
4.【答案】CD
【解析】对F的端点分析，F的作用力沿F的方向移动了，由题意可知，当物体向右移动s时，力的作用点沿力方向移动s的同时也会随滑轮向右移动s，则力的作用点的合位移如图所示，则s合＝2scs，则F对物体做功W＝Fs合cs＝2Fscs2由数学知识可知：2Fscs2＝Fs（1＋csθ）。
5.【答案】BD
【解析】撤去F后，在物体离开弹簧的过程中，弹簧弹力是变力，物体先做变加速运动，离开弹簧之后做匀减速运动，故A错；刚开始时，由kx0－μmg＝ma可知B正确；离开弹簧之后做匀减速运动，减速时间满足3x0＝a1t2，a1＝μg则t＝，C错；速度最大时合力为零，此时弹簧弹力F＝μmg＝kx，x＝，所以物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为Wf＝μmg（x0－x）＝μmg（x0－），D正确。
6.【答案】B
【解析】方法一 由图可知F在整个过程中做功分为三个小过程，分别做功为
W1＝2×2 J＝4 J，W2＝－1×2 J＝－2 J
W3＝4×4 J＝16 J，
所以W＝W1＋W2＋W3＝4 J＋（－2）J＋16 J＝18 J。
方法二 F－x图象中图线与x轴所围成的面积表示做功的多少，x轴上方为正功，下方为负功，总功取三部分的代数和，即（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，B正确。
7.【答案】（1）－3 000 J （2）－1 000 J （3）0
【解析】物体受力情况如图所示
（1）WG＝－mgLsinθ＝－3 000 J
（2）Ff＝μFN＝μmgcsθ
Wf＝－FfL＝－μmgcsθ·L
＝－1 000 J
（3）解法一：WF＝FL＝4 000 J
W＝WF＋WG＋Wf＝0
解法二：物体做匀速运动，F合＝0
故W＝0。
功率及机车启动问题
一、功率
1. 定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2. 公式：P＝单位：瓦特，简称瓦，符号W。
3. 意义：功率是表示物体做功快慢的物理量。
4. 功率是标量。
5. 额定功率和实际功率
（1）额定功率：机械允许长时间正常工作时的最大功率。发动机铭牌上的功率指的就是额定功率。
（2）实际功率：机械实际工作时的输出功率。发动机的实际功率不能长时间大于额定功率，否则会损坏机械。
二、功率与速度
1. 功率与速度关系式：P＝Fv（F与v方向相同）。
2. 应用：由功率速度关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
三、机车的两种启动方式
1. P＝Fv三个量的制约关系：
2. 两种启动方式的过程分析
3. 机车启动问题中几个物理量的求法
（1）机车的最大速度vm的求法，机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法，牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法，据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍（g取10 m/s2），求：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小。
【答案】（1）逐渐减小 （2）m/s （3）10 m/s
【解析】（1）汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律F－Ff＝ma知，汽车的加速度减小。
（2）由F－Ff＝ma1①
P＝Fv1②
联立①②代入数据得：v1＝m/s
（3）当汽车速度达到最大时，a2＝0，F2＝Ff，P＝P额，故
vmax＝＝m/s＝10 m/s。
放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. 物体的质量为kg
B. 滑动摩擦力的大小为5 N
C. 0～6 s内物体的位移大小为40 m
D. 0～6 s内拉力做的功为20 J
【答案】A
【解析】在2～6s内，Ff＝F＝N；当P＝30 W时，v＝6 m/s，得到牵引力为：F1＝＝N＝5 N；0～2s内物体的加速度为：a＝＝m/s2＝3m/s2，根据F－Ff＝ma可知：m＝kg＝kg，A正确；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速直线运动，F＝Ff，则滑动摩擦力为：Ff＝N，B错误；0～6 s内物体的位移大小等于v－t图象中图象与坐标轴所包围的面积，为：x＝（×2×6＋4×6）m＝30 m，C错误； 0～2 s内物体的加速度为：a＝＝m/s2＝3m/s2，由图可知，当P＝30W时，v＝6m/s，牵引力F1＝5 N，在0～2s内物体位移为x1＝6m，则拉力做的功为：W1＝F1x1＝5×6J＝30 J，2～6s内拉力做的功为：W2＝Pt＝10×4J＝40 J，0～6s内拉力做的总功为：W＝（30＋40）J＝70 J，D错误。
1. 功率：（1）平均功率：P＝
（2）瞬时功率：P=Fvm=P额/F阻
2. 两种启动方式的过程分析
（答题时间：30分钟）
1. 水平面上一质量为m的物体，在水平力F作用下开始加速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程所受的阻力Ff大小不变，物体速度最终达到稳定值vm，F作用过程物体的速度v的倒数与加速度a的关系图象如图所示，仅在已知功率P的情况下，根据图象所给的信息（ ）
A. 可求出m，Ff和vm
B. 不能求出m
C. 不能求出Ff
D. 可求出加速运动时间
2. 起重机将质量为m的货物由静止开始以加速度a匀加速提升，在t时间内上升h高度，设在t时间内起重机对货物的拉力做的功为W、平均功率为，则（ ）
A. W＝mah
B. W＝mgh
C. ＝
D. ＝
3. 一辆质量为m的轿车，在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒为Ff。则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图象正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示为某汽车在平直公路上启动时发动机功率P随时间t变化的图象，P0为发动机的额定功率。已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，汽车所受阻力不变。由此可得（ ）
A. 在t3时刻，汽车速度一定等于vm
B. 在t1～t2时间内，汽车一定做匀速运动
C. 在t2～t3时间内，汽车一定做匀速运动
D. 在发动机功率达到额定功率前，汽车一定做匀加速运动
5. 质量为m＝5.0×106kg的列车以恒定不变的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到v1＝2 m/s时，加速度a1＝0.9 m/s2，当速度增大到v2＝10 m/s时，加速度a2＝0.1 m/s2，如果列车所受阻力大小不变，求：
（1）列车所受阻力是多少？
（2）在该功率下列车的最大速度是多少？
6. 质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变。求：
（1）汽车所受阻力的大小；
（2）3 s末汽车的瞬时功率；
（3）汽车做匀加速运动的时间；
（4）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功；
1.【答案】A
【解析】当加速度为零时，物体做匀速运动，此时的牵引力等于阻力，速度为最大值；由功率的计算公式可得P＝Fv，而F－Ff＝ma，联立可得＝a＋，由图象可得斜率为，因此可求出m、Ff和vm，故A正确；物体做变加速运动，加速运动的时间不可求，故D错误。
2.【答案】D
【解析】对货物进行受力分析，货物受重力和起重机对货物的拉力F，根据牛顿第二定律得：F－mg＝ma，解得：F＝m（a＋g），上升h高度，起重机对货物拉力做功W＝Fh＝m（a＋g）h，故A、B错误；由于货物做匀加速运动，平均速度等于过程中的中间时刻速度，所以在t时间内的平均速度为＝at，起重机对货物拉力做功平均功率为＝F＝ma（a＋g）t，故C错误，D正确。
3.【答案】ACD
【解析】由于启动阶段轿车受到的牵引力不变，加速度不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不增加了，再增加速度，就须减小牵引力，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝＝，所以A、C、D正确，B错误。
4.【答案】AC
【解析】已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，此后汽车做匀速直线运动，速度不变，所以在t3时刻，汽车速度一定等于vm，故A正确；0～t1时间内汽车的功率均匀增加，汽车所受阻力不变，牵引力不变，汽车做匀加速直线运动；汽车的功率在t1时刻达到额定功率，根据P＝Fv，速度继续增大，牵引力减小，加速度减小，则在t1～t2时间内汽车做加速度减小的加速运动，故B错误；在t2～t3时间内，汽车已达到最大速度，且功率保持不变，汽车一定做匀速直线运动，故C正确；由此分析知，在发动机功率达到额定功率前，汽车先做匀加速运动，后做加速度减小的变加速运动，故D错误。
5.【答案】（1）5.0×105N （2）20 m/s
【解析】（1）设列车恒定不变的功率为P，大小不变的阻力为Ff，当列车速度增大到v1＝2 m/s时，P＝F1v1①
由牛顿第二定律可得：F1－Ff＝ma1②
当列车速度增大到v2＝10 m/s时，P＝F2v2③
由牛顿第二定律可得：F2－Ff＝ma2④
将①、③分别代入②、④联立方程可解得：
P＝1.0×107W，Ff＝5.0×105N
（2）该功率下列车以最大速度行驶时，牵引力等于阻力，有P＝Fvm＝Ffvm
解得vm＝＝20 m/s。
6.【答案】（1）4 000 N （2）4.8×104W （3）5 s （4）2×105J
【解析】（1）以最大速度行驶时，根据P＝Fv，得F＝4 000 N。而此时牵引力和阻力大小相等。
（2）3 s时的速度v＝at＝6m/s，而牵引力由F－Ff＝ma得F＝8 000 N，故此时的功率为P＝Fv＝4.8×104W。
（3）设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v＝at，这时汽车的功率为额定功率。由P＝Fv，将F＝8 000 N和v＝at代入得t＝5 s。
（4）匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功W＝Fl＝Fat2＝8000××2×52J＝2×105J
重难点
题型
分值
重点
功的计算及正负
选择
计算
6-8分
难点
功的正负的含义及判定
α的取值
cs α
功的正负
物理意义
0≤α<
cs α>0
W>0，力做正功
做功的力是动力
α＝
cs α＝0
W＝0，力不做功
力既不是动力，也不是阻力
<α≤π
cs α<0
W<0，力做负功
做功的力是阻力
重难点
题型
分值
重点
功率的意义及计算
选择
计算
8-10分
难点
机车启动问题的分析及应用
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
以额定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和
v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
以额定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和
v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
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