高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律精品学案

万有引力与宇宙航行专题

解密天体质量和密度

万有引力定律的应用

一、应用万有引力定律解决天体问题的一种模型和两条思路

1. 一种模型：天体或卫星看做质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动。

2. 两条思路：

（1）万有引力提供向心力，即G＝F。

（2）忽略天体自转，天体表面万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM（R、g分别是天体的半径、表面重力加速度）。gR2＝GM称为黄金代换式。

注意：在天体上空某一高度h处有：G＝mg′，所以g′＝。

可知随着高度的增加，重力逐渐减小，重力加速度也逐渐减小。

二、常用的几个基本关系

（1）   →  （越大，则线速度越小）

（2）  →  （越大，则角速度越小）

（3）→  （越大，则周期越大）

（4）   →     （越大，则向心加速度越小）

计算天体质量和密度

1. 根据天体表面的重力加速度和天体半径计算天体质量和密度：

设天体质量为，半径为，表面的重力加速度为，设天体表面上有一物体，质量为，在忽略天体自转的前提下，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，有：

  可得：

天体密度ρ＝

2. 根据环绕天体的周期和轨道半径计算中心天体质量和密度：

设是中心天体质量，为环绕天体的质量，是轨道半径。设环绕周期为，则环绕天体做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故有：

   可得中心天体质量：

密度：

注意：当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径，则天体密度为：

，因此，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

1. 已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是（　　）

A. 甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4

B. 甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4

C. 甲、乙两行星的质量之比为1∶2

D. 甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1

【答案】BC

【解析】由＝mrω2＝得ω＝，v＝，Ek＝mv2，

T＝＝2π，代入数据得M甲∶M乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v甲∶v乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小。

2. 地球绕着太阳公转，其运动可看成匀速圆周运动。已知引力常量为G，如果要通过观测求得太阳的质量，还需要测量下列哪些量（    ）

A. 地球公转的轨道半径和自转周期

B. 地球公转的轨道半径和公转周期

C. 地球半径和地球的公转周期

D. 地球半径和地球的自转周期

【答案】B

【解析】根据=，解得，则已知地球公转的轨道半径r和公转周期T，即可求解太阳的质量M，选项B正确，ACD错误。

澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约14光年的“红矮星Wolf 1061”周围发现了三颗行星b、c、d，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视为圆，如图所示，已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　）

A. 可求出b、c的公转半径之比

B. 可求出c、d的向心加速度之比

C. 若已知c的公转半径，可求出“红矮星”的质量

D. 若已知c的公转半径，可求出“红矮星”的密度

【答案】ABC

【解析】根据开普勒定律分析可知A项正确；由万有引力定律提供向心力可得a＝，结合可得B项正确；由牛顿第二定律得＝mr，解得M＝，C项正确；由于不知道红矮星的半径，所以无法求出红矮星的密度，D项错误。

1. 应用万有引力定律解决天体问题的一种模型和两条思路

（1）一种模型：天体或卫星看做质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。

（2）两条思路：黄金代换；万有引力提供向心力。

2. 计算天体质量：

（1）已知天体半径和表面重力加速度：黄金代换。

（2）已知环绕天体运动参数：万有引力提供向心力。

3. 计算天体密度时，需注意区分两个半径：轨道半径和中心天体的半径。

（答题时间：30分钟）

1. 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　）

A. 5×109 kg/m3　　　　　   B. 5×1012 kg/m3

C. 5×1015 kg/m3      D. 5×1018 kg/m3

2. 2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度，图示为“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器。已知地球和月球的半径之比约为4：1，其表面重力加速度之比约为6：1。则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是（    ）

A. 地球的密度与月球的密度比为3：2

B. 地球的质量与月球的质量比为64：1

C. 地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为8：1

D. 苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为60：1

3. 2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器成功登陆月球背面，人类首次实现了月球背面的软着陆。已知月球表面重力加速度g，月球半径R，引力常量G，则（    ）

A. 月球的质量为    B. 月球的第一宇宙速度为

C. 近月卫星的周期为   D. 近月卫星的角速度为

4. 2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h的极地预定轨道（轨道可视为圆轨道），如图所示。若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转，由以上条件可知（　　）

A. 地球的质量为

B. 卫星运行的角速度为

C. 卫星运行的线速度为

D. 卫星运行的线速度为

5. 如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器。火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（g0为地面附近的重力加速度），已知地球半径为R0。

（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的，求此时火箭离地面的高度h；

（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T0，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G）

1.【答案】C

【解析】以周期T稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即＝mR，星体的密度ρ＝，得其密度ρ＝＝kg/m3＝5×1015 kg/m3，故选项C正确。

2.【答案】A

【解析】设星球的密度为ρ，由，得GM=gR2，，已知地球的半径约为月球半径4倍；地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，所以地球和月球的密度之比约为倍，地球的质量与月球的质量比为96：1，故A正确，B错误。根据可得，则地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为2：1，选项C错误；根据F=mg可知，苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为6：1，选项D错误。

3.【答案】B

【解析】解：对于选项A：由得，所以A选项错误；

对于选项B：由和可知，所以B选项正确；

对于选项C：近月卫星的周期，所以C选项错误；

对于选项D：近月卫星的角速度，所以D选项错误。

故选：B

4.【答案】BD

【解析】在地球表面Mg＝，M＝，A错；第一次运行至南纬60°历时t＝，而T＝，所以ω＝，B对；v＝ω（R＋h）＝，C错，D对。

5.【答案】（1）　（2）

【解析】（1）火箭起飞前有：N1＝mg0

火箭起飞后有：N2－mg＝  且有＝

＝mg0

＝mg

联立以上各式解得h＝。

（2）设行星半径为r，质量为M，密度为ρ，则

＝m由ρ＝，V＝πr3得ρ＝。

人造卫星的运行和变轨

卫星的运行

1. 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

2. 三个宇宙速度

（1）第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，既是卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。

（2）第一宇宙速度的求法：

①，所以v1＝。

②，所以v1＝。

（3）第二、第三宇宙速度也都是指发射速度

极地卫星、近地卫星和同步卫星

1. 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

2. 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。

3. 同步卫星指相对地面静止的卫星，它的六个“一定”

注意：卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

人造地球卫星变轨问题

1. 变轨原理及过程

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2. 人造卫星变轨过程中物理参量的定性分析

（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3＞vB，又因为v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。

（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同。

（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律　＝k　可知T1＜T2＜T3。

1. 2019年1月3日“嫦娥四号”月球探测器成功软着陆在月球背面，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器。如图所示，在月球椭圆轨道上，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下向月球靠近，并在B处变轨进入半径为r、周期为T的环月圆轨道运行。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

A. 图中探月卫星飞向B处的过程中速度越来越小 

B. 图中探月卫星飞向B处的过程中加速度越来越小 

C. 由题中条件可以计算出探月卫星受到月球引力大小 

D. 由题中条件可以计算出月球的质量

【答案】D

【解析】对于选项A：在椭圆轨道上，探月卫星向月球靠近过程，万有引力做正功，根据动能定理，卫星的速度要增加，故A错误；

对于选项B：探月卫星飞向B处的过程中受到地球的引力越来越小，受到月球的引力越来越大，合外力越来越大，所以加速度越来越大，故B错误；

对于选项C：探月卫星质量未知，故由题设条件无法计算探月卫星受到月球引力大小，故C错误；

对于选项D：在环月轨道，万有引力提供圆周运动向心力，有：，可得中心天体质量： M，故D正确；

2. 第三代北斗导航卫星计划由35颗卫星组成，其中有5颗地球静止轨道卫星（运行在地球同步轨道，离地高度约3.6×104km）、27颗中地球轨道卫星（运行在3个互成120°的轨道面上，离地高度约2.15×104km）、3颗倾斜同步轨道卫星（其轨道平面与赤道平面有一定的夹角，周期与地球自转周期相同）。假设所有北斗卫星均绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ）

A. 中地球轨道卫星的线速度最小

B. 倾斜同步轨道卫星能定点在北京上空

C. 中地球轨道卫星的运行周期小于地球同步卫星的运行周期

D. 倾斜同步轨道卫星的轨道半径大于地球静止轨道卫星的轨道半径

【答案】C

【解析】A. 在所有北斗卫星中，中地球轨道的轨道半径最小，根据得：，故中地球轨道卫星线速度最大，故A错误；

B. 倾斜轨道卫星周期是24小时，可以在每天的同一时刻经过北京上空，但不能定点在北京上空，故B错误；

C. 根据得：，半径越大，周期越大，故中地球轨道卫星的运行周期小于地球同步卫星的运行周期，故C正确；

D. 由于倾斜同步轨道卫星周期与地球自转周期相同，则轨道半径相同，故D错误。

发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。轨道3到地面的高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。以下说法正确的是（　　）

A. 卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能

B. 卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期

C. 卫星在轨道2上经过Q点时的速度小于它在轨道3上经过P时的速度

D. 卫星在轨道3上的线速度为v＝R

【答案】AD

【解析】卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A对；由T＝2π可知，B错；由于v＝，所以v1>v3，又在轨道2上Q点卫星做离心运动，因此vQ>v1，可知vQ>v3；在轨道2上P点卫星做离心运动，因此v3>vP，所以vQ>vP，C错；将r＝R＋h，GM＝gR2，代入v＝得v＝R，D对。

1. 卫星运动参数分析：高轨低速长周期。

2. 同步卫星特点：轨道半径、线速度、角速度、周期、向心加速度一定；同步卫星的轨道都在赤道平面内；同步卫星的绕行方向与地球自转方向一致。

3. 卫星的变轨：注意分析变轨过程中线速度、向心加速度、周期的大小关系。

（答题时间：30分钟）

1. 为纪念中国航天事业的成就，发扬航天精神，自2016年起，将每年的4月24日设立为“中国航天日”。在46年前的这一天，中国第一颗人造卫星发射成功。至今中国已发射了逾百颗人造地球卫星。卫星环绕地球运动近似为圆周运动。下列说法正确的是（　　）

A. 卫星的环绕周期一定等于24h 

B. 卫星的环绕周期可能等于24h 

C. 卫星的第一宇宙速度小于7.9km/s 

D. 卫星的第一宇宙速度可能是3km/s

2. 2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h，根据此两组数据我们能求出的是（　　）

A. 天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比

B. 天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比

C. 天宫二号与地球同步卫星的线速度之比

D. 天宫二号与地球同步卫星的加速度之比

3. 发射卫星时，按预定计划，卫星应首先被送入近地点约为200公里、远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ（椭圆），然后通过在远地点变轨，最终进入地球同步轨道Ⅲ（圆形）。但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道Ⅰ远地点只有1.6万公里。科技人员没有放弃，通过精心操控，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点高度，经过10次轨道调整，终于成功定点于预定轨道。下列说法正确的是（　　）

A. 失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s

B. 卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时的速度相同

C. 卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后机械能增加

D. 卫星从轨道Ⅱ由P点向Q点运行时处于失重状态

4. 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过N、Q、M回到P的运动过程中，下列说法正确的是（　　）

A. 从P到N阶段，动能逐渐增大 

B. 从N到Q阶段，速度逐渐增大 

C. 从Q到M阶段，所用时间大于

D. 从M到P阶段，加速度逐渐减小

5. 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（　　）

A. 质量之积　　　　　   B. 质量之和

C. 速率之和       D. 各自的自转角速度

1.【答案】B

【解析】对于选项A，B：同步卫星的周期为24小时，若不是同步卫星或和同步卫星半径相同的卫星则周期不是24小时，故A错误，B正确

对于选项C ，D、地球卫星的第一宇宙速度是7.9Km/s，故CD错误

故选：B。

2.【答案】CD

【解析】由F＝及＝mrω2＝m＝ma可知，ω＝，T＝2π，a＝，v＝，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C、D正确。

3.【答案】CD

【解析】发射速度大于第一宇宙速度，A项错误；在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ的Q点，卫星机械能不等，卫星重力势能相等，动能不等，所以速度大小不等，B项错误；卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ机械能增加，C项正确；卫星环绕地球运行过程中，万有引力提供向心力，处于失重状态，D项正确。

4.【答案】C

【解析】对于选项A：从P到N阶段，万有引力对它做负功，动能逐渐减小，故A错误；

对于选项B： 从N到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故B错误；

对于选项C： 海王星在MP段的速度大小大于QM段的速度大小，则MP段的时间小于QM段的时间，所以Q到M所用的时间大于，故C正确；

对于选项D：从M到P阶段，离太阳越来越近，万有引力增大，加速度逐渐增大，故D错

故选：C。

5.【答案】BC

【解析】双星系统由彼此间万有引力提供向心力，得＝m1ωr1，G＝m2ωr2，且T＝，两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2＝T，ω1＝ω2＝ω，两颗星的轨道半径r1＋r2＝L，解得＝，m1＋m2＝，因为未知，故m1与m2之积不能求出，则选项A错误，B正确。各自的自转角速度不可求，选项D错误。速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω·L，故C项正确。