高考真题汇编——理科数学（解析版）10：圆锥曲线

这是一份高考真题汇编——理科数学（解析版）10：圆锥曲线，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考真题分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
1.【高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B
2.【高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.
3.【高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）

【答案】C
【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.
4.【高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A、 B、 C、 D、

【答案】B
【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为， ， 解得，所以.
5.【高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，，，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.
6.【高考真题湖南理5】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
【答案】A
【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.
又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.
又，，C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
7.【高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A. B. C.3 D.5
【答案】Ａ．
【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选Ａ．
8.【高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ）

【答案】C
【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
【解析】设及；则点到准线的距离为，
得： 又，
的面积为。
9.【高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
A +=1 B +=1C +=1 D +=1
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.
10.【高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=
(A) （B） (C) (D)
【答案】C
【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.
11.【高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
【答案】
【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此．
二、填空题
12.【高考真题湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则


（Ⅰ）双曲线的离心率 ；
（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .
【答案】
【解析】（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出
（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；
菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.
13.【高考真题四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.
【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；
将带入解得；所以.
14.【高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
【答案】.
【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.
15.【高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .

【答案】
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.
16.【高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。
【答案】4
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.
由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。
曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
17.【高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】
【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。
【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.
18.【高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴，即，解得。
三、解答题

19.【高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．

【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴。
由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，。
∴。
∴。①
同理，。②
（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。
∴直线的斜率为。
（ii）证明：∵∥，∴，即。
∴。
由点在椭圆上知，，∴。
同理。。
∴
由①②得，，，
∴。
∴是定值。

20.【高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
【答案】(Ⅰ)由题：； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)
由(1) (2)可解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴．
设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，
代入椭圆：．
显然．
∴﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
∴|AB|＝||＝＝．
∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．
∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，
当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．
此时直线l的方程y＝﹣．
21.【高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)
如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。
(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，
。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。
【答案】




【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。
22.【高考真题湖北理】（本小题满分13分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由，
可得，，所以，. ①
因为点在单位圆上运动，所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为，所以
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，；
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，.
（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，
直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得
，即.
因为点H在直线QN上，所以.
于是，.
而等价于，
即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.






图2







图3

图1
O D x
y
A
M
第21题解答图









解法2：如图2、3，，设，，则，，
因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得
. ③
依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，
故. 于是由③式可得
. ④
又，，三点共线，所以，即.
于是由④式可得.
而等价于，即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.
23.【高考真题北京理19】（本小题共14分）

【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，
，解得：
由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
24.【高考真题广东理20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。


25.【高考真题重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形.
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程

【答案】
【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.


26.【高考真题四川理21】(本小题满分12分)
如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想


27.【高考真题新课标理20】（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值.
【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离

圆的方程为
（2）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为.
28.【高考真题福建理19】如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆E的方程.
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

29.【高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．
（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.
【答案】

过点A与渐近线平行的直线方程为

，,则到直线的距离为.

设到直线的距离为.


【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．
30.【高考真题陕西理19】本小题满分12分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。
【答案】

31.【高考真题山东理21】（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.
【答案】解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.
（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，
而，，，
，，
由可得，，则，
即，解得，点M的坐标为
（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。
由可得，设，

圆，
，
于是，令
，
设，，
当时，，
即当时.
故当时，.



32.【高考真题江西理21】 （本题满分13分）
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.
（1） 求曲线C的方程；
（2） 动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。
【答案】


【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.
33.【高考真题天津理19】（本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足

【答案】