2020年江苏省南京市中考数学试卷

2020年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）计算的结果是　　

A． B． C．1 D．5

2．（2分）3的平方根是　　

．9 ． ． ．

3．（2分）计算的结果是　　

A． B． C． D．

4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是　　

A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人 

B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人 

C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 

D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务

5．（2分）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于　　．

8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　．

9．（2分）纳秒是非常小的时间单位，．北斗全球导航系统的授时精度优于．用科学记数法表示是　　．

10．（2分）计算的结果是　　．

11．（2分）已知、满足方程组，则的值为　　．

12．（2分）方程的解是　　．

13．（2分）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是　　．

14．（2分）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

15．（2分）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则　　．

16．（2分）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是　　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）计算．

18．（7分）解方程：．

19．（8分）如图，点在上，点在上，，，求证：．

20．（8分）已知反比例函数的图象经过点．

（1）求的值．

（2）完成下面的解答．

解不等式组

解：解不等式①，得　　．

根据函数的图象，得不等式②的解集　　．

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．

21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．

根据抽样调查的结果，回答下列问题：

（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第　　组内；

（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．

22．（8分）甲、乙两人分别从、、这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是、的概率；

（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．

23．（8分）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．

24．（8分）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．

求证：（1）四边形是平行四边形；

（2）．

25．（8分）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．

（1）小丽出发时，小明离地的距离为　　．

（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

26．（9分）如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．

27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．

为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明．

（2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

2020年江苏省南京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）计算的结果是　　

A． B． C．1 D．5

【解答】解：．

故选：．

2．（2分）3的平方根是　　

．9 ． ． ．

【解答】解：，

的平方根．

故选：．

3．（2分）计算的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是　　

A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人 

B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人 

C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上 

D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务

【解答】解：．2019年末，农村贫困人口比上年末减少（万人），此选项错误；

．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过（万人），此选项正确；

．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；

．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；

故选：．

5．（2分）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是　　

A．两个正根 B．两个负根 

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

【解答】解：关于的方程为常数），

，

△，

方程有两个不相等的实数根，

两个的积为，

一个正根，一个负根，

故选：．

6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，

则轴，轴，

，

四边形是矩形，

，，

四边形为正方形，

，

，

，

，

四边形为矩形，

，，，

，

四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，，

，

，

．

故选：．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于　（答案不唯一）　．

【解答】解：一个负数的绝对值小于3，

这个负数大于且小于0，

这个负数可能是、、、．

故答案为：（答案不唯一）．

8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　．

【解答】解：若式子在实数范围内有意义，

则，

解得：．

故答案为：．

9．（2分）纳秒是非常小的时间单位，．北斗全球导航系统的授时精度优于．用科学记数法表示是　　．

【解答】解：，

故答案为：．

10．（2分）计算的结果是　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

11．（2分）已知、满足方程组，则的值为　1　．

【解答】解：，

①②得：，

解得：，

①②得：，

解得：，

则，

故答案为1．

12．（2分）方程的解是　　．

【解答】解：方程，

去分母得：，

解得：，

经检验是分式方程的解．

故答案为：．

13．（2分）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是　　．

【解答】解：在一次函数中，令，则，

直线经过点，

将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，

旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：，

将点代入得，，

解得，

旋转后对应的函数解析式为：，

故答案为．

14．（2分）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

【解答】解：连接，，过点作于

是正六边形，

，，，

，

，，

，，

，

，

，，

，

，

故答案为．

15．（2分）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则　　．

【解答】解：过作射线，

线段、的垂直平分线、相交于点，

，，

，

，

，

，

，，

，，

，

故答案为：．

16．（2分）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．

【解答】解：①二次函数为常数）与函数的二次项系数相同，

该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论①正确；

②在函数中，令，则，

该函数的图象一定经过点，故结论②正确；

③，

抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故结论③错误；

④抛物线开口向下，当时，函数有最大值，

该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论④正确，

故答案为①②④．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）计算．

【解答】解：原式

．

18．（7分）解方程：．

【解答】解：原方程可以变形为

，

，．

19．（8分）如图，点在上，点在上，，，求证：．

【解答】证明：在与中

，

．

．

．

20．（8分）已知反比例函数的图象经过点．

（1）求的值．

（2）完成下面的解答．

解不等式组

解：解不等式①，得　　．

根据函数的图象，得不等式②的解集　　．

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．

【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，

；

（2）解不等式组

解：解不等式①，得．

根据函数的图象，得不等式②的解集．

把不等式①和②的解集在数轴上表示为：

不等式组的解集为，

故答案为：，，．

21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．

根据抽样调查的结果，回答下列问题：

（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第　2　组内；

（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．

【解答】解：（1）有200个数据，

六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，

该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；

故答案为：2；

（2）（户，

答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有7500户．

22．（8分）甲、乙两人分别从、、这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是、的概率；

（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．

【解答】解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：

（1）共有6种可能出现的结果，其中选择、的有2种，

；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，

．

故答案为：．

23．（8分）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．

【解答】解：如图，过点作于点，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

解得，

在中，，

．

答：轮船航行的距离约为．

24．（8分）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．

求证：（1）四边形是平行四边形；

（2）．

【解答】证明：（1），

，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形；

（2）连接，

，，

，

四边形是的内接四边形，

，

，

，

，

，

．

25．（8分）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．

（1）小丽出发时，小明离地的距离为　250　．

（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

【解答】解：（1），，

当时，，，

小丽出发时，小明离地的距离为，

故答案为：250；

（2）设小丽出发第时，两人相距，则

，

当时，取得最小值，此时，

答：小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．

26．（9分）如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

△，

，

，

△．

故答案为：，．

（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．

，

，

，

同理，，

，

，

，

同理，，

，即，

，

，

，

△，

，

，

，

同理，，

，

，

△．

27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．

为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明．

（2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【解答】证明：（1）如图②，连接，

点，点关于对称，点在上，

，

，

同理可得，

，

；

（2）如图③，

在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中点是正方形的顶点）；

如图④，

在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中，都与圆相切）