2020年四川省成都市中考数学试卷

这是一份2020年四川省成都市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两．牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）的绝对值是　　
A． B．1 C．2 D．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是　　

A． B． C． D．
3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是　　
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是　　
A．5人，7人 B．5人，11人 C．5人，12人 D．7人，11人
7．（3分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．6
8．（3分）已知是分式方程的解，那么实数的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．
10．（3分）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：　 　．
12．（4分）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为　　．
13．（4分）如图，，，是上的三个点，，，则的度数为　　．

14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为　　．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，

19．（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

20．（10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知，则代数式的值为　　．
22．（4分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
23．（4分）如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”， ，，，，，，的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是　　．

24．（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为　　．
25．（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为　　，线段长度的最小值为　　．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件）
12
13
14
15
16
（件
1200
1100
1000
900
800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
27．（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．

28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


2020年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）的绝对值是　　
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：的绝对值为2．
故选：．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是　　

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形．
故选：．
3．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：将点向下平移2个单位长度所得到的点坐标为，即，
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
6．（3分）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是　　
A．5人，7人 B．5人，11人 C．5人，12人 D．7人，11人
【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；
把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人．
故选：．
7．（3分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
，
，，
，
故选：．
8．（3分）已知是分式方程的解，那么实数的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：把代入分式方程得：，
解得：．
故选：．
9．（3分）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：直线，
，
，，，
，
，
故选：．
10．（3分）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为
【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项错误；
当时，，即该函数与轴交于点，故选项错误；
当时，或，即图象与轴的交点坐标为和，故选项错误；
当时，该函数取得最小值，故选项正确；
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）分解因式：　　．
【解答】解：．
12．（4分）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为　　．
【解答】解：一次函数中，函数值随自变量的增大而增大，
，解得．
故答案为：．
13．（4分）如图，，，是上的三个点，，，则的度数为　　．

【解答】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为　　．
【解答】解：设1头牛值金两，1只羊值金两，
由题意可得，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式

；
（2），
由①得，；
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
17．（8分）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　180　人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为　　；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：
（人，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；

（2）根据题意得：
，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；

（3）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
（选中甲、乙）．
18．（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值．
（结果精确到1米；参考数据：，，

【解答】解：过点作于点，

根据题意可得四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
在中，，
，
（米．
答：观景台的高的值约为214米．
19．（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线过点，
，
过点的直线与轴、轴分别交于，两点，
，，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：，．
20．（10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．

【解答】解：（1）如图，连接，

与边相切于点，
，即，
，，，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2），
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
（3）连接，，

由（1）可知：，
，，
又，，
，
，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知，则代数式的值为　49　．
【解答】解：，
，



，
故答案为：49．
22．（4分）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
解得：，
故答案为：．
23．（4分）如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”， ，，，，，，的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是　　．

【解答】解：的长，
的长，
的长，
的长，
的长，
的长，
曲线的长度，
故答案为．
24．（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为　，或，　．
【解答】解：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，
这两条直线互相垂直，则，故点，，则点，，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
25．（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为　　，线段长度的最小值为　　．

【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件）
12
13
14
15
16
（件
1200
1100
1000
900
800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【解答】解：（1）与满足一次函数的关系，
设，
将，；，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）设线上和线下月利润总和为元，
则，
当为19元件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
27．（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．

【解答】解：（1）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，

，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，
设，则，
，
，
解得．
．
．
28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，

，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．