人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制教学设计及反思

1.1.2弧度制

教学目标

（一）                       知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．

（二）                       过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题

（三）                       情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．

教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．

教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系．

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?

规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

二、新课：

1．引　入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

2．定  义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳：

弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为        ②整圆所对的圆心角为

③正角的弧度数是一个正数．         ④负角的弧度数是一个负数．

⑤零角的弧度数是零．               ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

； ；；．

②将弧度化为角度：

；；；．

5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．                             

② 弧度与角度不能混用．

6．特殊角的弧度

7．弧长公式

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．

例1．把67°30＇化成弧度．

例2．把化成度．

例3．计算：

；．

例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：

；．

例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．

；．

解: (1)

而是第三象限的角,是第三象限角.

(2) 是第二象限角.

证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,

 ∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积．

证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．

8．课后作业：

①阅读教材P6 –P8；

②教材P9练习第1、2、3、6题；

③教材P10面7、8题及B2、3题．