数学2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教学设计

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律.

教学难点：平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质：  设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1  ea = ae =|a|cos；    2  ab  ab = 0

3  当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或

4cos = ；       5|ab| ≤ |a||b|

3．练习：

（1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（    ）

A.60°         B.30°          C.135°         D.４５°

（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（   ）

A.2            B.2          C.6            D.12

二、讲解新课：

探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？.

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即

2. 平面内两点间的距离公式

（1）设，则或.

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，

那么(平面内两点间的距离公式)

3．  向量垂直的判定

设，，则 

4．  两向量夹角的余弦（）  

cos =

二、讲解范例：

例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

例2  设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

例3 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）

有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．

记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝        又∵０≤θ≤π，∴θ＝

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

三、课堂练习：1、P107面1、2、3题

           2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=     .

四、小结： 1、

           2、平面内两点间的距离公式

3、向量垂直的判定：

设，，则 

五、课后作业：《习案》作业二十四。

思考：

1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.

解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)

∵   ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0

又∵|| = ||   ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29

由

∴B点坐标或；=或

2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.

解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0  ∴k = 

当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)

∴2×(1) +3×(k3) = 0   ∴k = 

当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0   ∴k =