2021年九年级中考数学 专题练习：分式方程及其应用（含答案）

2021中考数学 专题练习：分式方程及其应用

一、选择题

1. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是(　　)

A. 8  　　  B. 7  　　 C. 6  　　 D. 5

2. 分式方程=1的解是 (　　)

A.x=1         B.x=-1

C.x=2         D.x=-2

3. （2020·抚顺本溪辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A．＝      B．＋80＝C．＝－80    D．＝

4. (2020·成都)已知x＝2是分式方程1的解，那么实数k的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）

A．40  B．40 C．40  D．40

6. （2020·重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是(    )

 A．7 B．-14 C．28 D．-56

7. （2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

8. (2020·荆门)已知关于的分式方程＝＋2的解满足－4＜x＜－1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为(    )

A．正数    B．负数    C．零    D．无法确定

二、填空题

9. 方程+=1的解是　　　　. 

10. 方程 ＝的解是________．

11. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同，则江水的流速为　　　　 km/h. 

12. （2020·南京）方程＝的解是______.

13. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x个，可列方程______．

14.  (2020·湘潭)若，则________．

15. 若分式方程＝a无解，则a的值为________.

16. （2020·内江）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________

三、解答题

17. （2020·遵义） 解方程＝

18. A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．

19. （2020·泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

20. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.

（1）超市B型画笔单价多少元？

（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式.

（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？

2021中考数学 专题训练：分式方程及其应用-答案

一、选择题

1. 【答案】A　【解析】设甲志愿者计划完成此项工作的天数为x天，依题意得×2＋(＋)(x－2－3)＝1, 解得x＝8.

2. 【答案】B　[解析]去分母得，1=x+2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，故选B.

3. 【答案】D【解析】由“原来公司投递快件的能力每周3000件，”可知快递公司人数可表示为人，由“快递公司为快递员更换了快捷的交通工具后投递快件的能力由每周3000件提高到4200件”，可知快递公司人数可表示为人，再结合快递公司人数不变可列方程：＝．故选项D正确．

4. 【答案】B【解析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．

解：把x＝2代入分式方程得：1＝1，解得：k＝4．故选：B．

5. 【答案】 A．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，

依题意，得：40，即40．因此本题选A．

6. 【答案】A【解析】 对于不等式组 ，解不等式①，得x≤7.解不等式②，得x≤a.因为不等式组的解集为x≤a，∴a≤7.对于分式方程，去分母，得y-a+3y-4=y-2,解这个整式方程，得y=.因为a≤7，所以当a=1,4,7时为正整数.当a=4时， y=2是分式方程的增根，分式方程无解.综上，可得a=1或7，它们的积为1×7=7.

7. 【答案】 D

【解析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．

8. 【答案】A

【解析】解原分式方程得x＝，且x≠2，－3．∵分式方程的解满足－4＜x＜－1，∴－4＜＜－1且≠－3．解得－7＜k＜14且k≠0．∴整数k＝－6，－5，－4，－3，－2，－1，1，…，13．其中有6个负数，13个正数，因此它们的积是正数．故选A．

二、填空题

9. 【答案】x=-2　[解析]原方程可化为=1，去分母，得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1)，解得x1=1，x2=-2，

经检验x1=1是增根，x2=-2是原方程的解，

∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.

10. 【答案】x＝－1　【解析】化简＝得x－3＝4x，则－3x＝3，所以x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．

11. 【答案】10　[解析]设江水的流速为x km/h，根据题意可得:=，解得:x=10，

经检验，x=10是原方程的根，且符合题意，所以江水的流速为10 km/h.

12. 【答案】 x＝

【解析】去分母，得：x(x＋2)＝(x－1)2，去括号，得：x2＋2x＝x2－2x＋1，移项、合并同类项，得：4x＝1，系数化为1，得：x＝.检验：当x＝时，(x－1)(x＋2)≠0，故x＝是原分式方程的根.

13. 【答案】＝＋2   【解析】实际每天加工零件1.5x个．原计划的工作时间＝(天)，实际的工作时间＝(天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程＝＋2．

14. 【答案】

【解析】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．

根据比例的基本性质变形，代入求职即可；

由可设，，k是非零整数，

则．

故答案为：．

15. 【答案】　[解析] 由方程＝3得x－4＝3x.解得x＝－2.当x＝－2时，x≠0.所以x＝－2是方程＝3的解．又因为方程－＝1的解与方程＝3的解相同，因此x＝－2也是方程－＝1的解．这时－＝1.解得a＝.当a＝时，a－1≠0，故a＝满足条件．

16. 【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0<a5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．

分式方程的解为x=且x≠1，∵分式方程的解为非负数，

∴且≠1.∴a5且a≠3.

解不等式①，得.解不等式②，得y<a.

∵关于y的不等式组的解集为，∴a>0.

∴0<a5且a≠3.又a为整数，则a的值为1，2，4，5.

符合条件的所有整数a的积为．因此本题答案为：40．

三、解答题

17. 【答案】

解:  去分母，得2x－3＝3x－6解得x＝3;检验:把x＝3带入(x－2) (2x－3) ≠0所以x＝3是原分式方程的解．

18. 【答案】

解：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工(x－20)个零件．

依题意得：＝，(2分)

∴400x－8000＝300x，(4分)

∴100x＝8000，

解得x＝80.(6分)

经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意．(7分)

答：A型机器每小时加工80个零件．(8分)

19. 【答案】

（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．

   根据题意，得：

    ＋10﹦．

   解得x﹦200．

   经检验：x﹦200是原方程的根．

    ∴1.4x﹦1.4×200﹦280（元）．

    ∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．

   （2）设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进（100—m）盒．

    打折前A种茶叶的利润为×100﹦50m．

    B种茶叶的利润为×120﹦6 000—60m．

    打折后A种茶叶的利润为×10﹦5m．

    B种茶叶的利润为0．

   由题意得：50m＋6 000—60m＋5m﹦5800．

    解方程，得：m﹦40．

    ∴100—m﹦100—40﹦60（盒）．

    ∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．

20. 【答案】

解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，

由题意列方程，得，

解得，.

经检验是原分式方程的根.

答：超市B型画笔单价是5元.

（2）由题意知，

当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；

当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.

所以，其中x为正整数.

（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去.

当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.

答：小刚能购买65支B型画笔.