2021年九年级中考数学 专题练习：矩形、菱形（含答案）

2021中考数学 专题练习：矩形、菱形

一、选择题

1. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是              (　　)

A.OM=AC   B.MB=MO   C.BD⊥AC   D.∠AMB=∠CND

2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是(　　)

3. 如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为 cm，则对角线AC和BD长之比为 (　　)

A.1∶2    B.1∶3    C.1∶    D.1∶

4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为(　　)

A. 2  B. 3  C.   D. 2

5. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72 B．24 C．48 D．96

6. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．150°

7. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是(　　)

A．∠DAB′＝∠CAB′

B．∠ACD＝∠B′CD

C．AD＝AE

D．AE＝CE

8. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,

(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.

若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（    ）

A.135°     B. 120°      C. 112.5°      D.115°

二、填空题

9. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　　　　.(写出一个即可) 

10. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为　　　　. 

11. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．

12. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为　　　　. 

图K24-8

13. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是　　　　. 

14. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．

15. （2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．

16. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度.

三、解答题

17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.

求证：四边形AODE是矩形．

18. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.

(1)求证：四边形BCED′是菱形；

(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．

19. 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.

(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．

20. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．

(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

2021中考数学 专题训练：矩形、菱形-答案

一、选择题

1. 【答案】A　[解析]添加OM=AC.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.

∵对角线BD上的两点M，N满足BM=DN，

∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，

∴四边形AMCN是平行四边形.

∵OM=AC，∴MN=AC，

∴四边形AMCN是矩形，故选A.

2. 【答案】C　【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质.  解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒＝⇒＝⇒MN＝x⇒y＝x2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN∽△CBD⇒＝⇒＝⇒MN＝2－x⇒y＝x(2－x)＝－x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的．

3. 【答案】D　[解析]由菱形ABCD的周长为8 cm得边长AB=2 cm.又高AE长为 cm，所以∠ABC=60°，所以△ABC，△ACD均为正三角形，AC=2 cm，BD=2AE=2 cm.故对角线AC和BD长之比为1∶，应选D.

4. 【答案】D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝1，∴BO＝＝，∴BD＝2OB＝2.

5. 【答案】 C

【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，

∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．

6. 【答案】连结AE，

∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，

∴AC＝20cm，

∵菱形的边长AB＝20cm，

∴AB＝BC＝20cm，

∴AC＝AB＝BC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠DAB＝120°．

故选：C．

7. 【答案】D　【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD＝∠EAC，∴AE＝CE.

8. 【答案】 C

【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．

解：由折叠知，，

∴，即，

由折叠可得，

∴，

∴在中，，因此本题选C．

二、填空题

9. 【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等

10. 【答案】16

11. 【答案】16　【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴AB＝2EF＝4，∴菱形ABCD周长是4AB＝16.

12. 【答案】12　[解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a，b(b>a)，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.

13. 【答案】　[解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，

设菱形的边长AC=x，则AB=4-x，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，

即x2=(4-x)2+12，解得x=，

∴菱形的最大周长=×4=.

14. 【答案】105°或45°　【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.
解图

15. 【答案】3

【解析】由于已知BC的长，故可设想在Rt△BCQ中利用勾股定理求解，则需求CQ的长，这可通过求DQ的长得到，结合已知条件BP＝BA＝5，易知DQ＝DP，显然DP可求，思路沟通．

在矩形ABCD中，∠BAD＝90º，AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13，又∵BP＝BA＝5，∴DP＝13－5＝8，∠BAP＝∠BPA．∵AB∥DQ，∴∠BAP＝∠PQD，∴∠PQD＝∠BPA＝∠DPQ，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝8－5＝3．在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，∴BQ＝＝3．

16. 【答案】15　【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝15°.
解图

三、解答题

17. 【答案】

证明：∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，(2分)

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝90°，(4分)

∵四边形AODE是平行四边形，∠AOD＝90°，

∴四边形AODE是矩形．(5分)

18. 【答案】

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D＝60°，

由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，

∴∠AD′E＝∠B＝60°，

∴ED′∥BC，

又∵EC∥D′B，

∴四边形BCED′是平行四边形，(4分)

∴ED′＝BC＝AD＝1，

∴DE＝ED′＝1，

又DC＝AB＝2，

∴EC＝1，

∴EC＝ED′，

∴四边形BCED′是菱形．(6分)

(2)

解图

解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD，BD之长即为所求，(8分)

作DG⊥BA的延长线于点G，

∵∠DAB＝120°，

∴∠DAG＝60°，

∵∠G＝90°，

∴∠ADG＝30°，

在Rt△ADG中，AD＝1，

∴AG＝，DG＝，(9分)

∵AB＝2，

∴BG＝，

在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2＋DG2＝7，

∴BD＝，

即PD′＋PB的最小值为.(10分)

19. 【答案】

解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GFE＝∠FEC，(2分)

∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，

∴∠GEF＝∠FEC，

∴∠GFE＝∠GEF，

∴GF＝GE，(3分)

∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，

∴GE＝EC＝GF＝FC，

∴四边形CEGF为菱形．(4分)

(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，(5分)

此时CE最小，且CE＝CD＝3；(6分)

如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．(7分)

设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，

即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，

∴CE＝5，

所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.(8分)

解图

20. 【答案】

 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°，

∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.

∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，

又∵∠COD＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠BAC，

∴∠ABC＋∠CBD＝90°，

∴∠ABD＝90°，

即OB⊥BD，

又∵OB是⊙O的半径，

∴BD是⊙O的切线；

(2)证明：如解图，连接CE、BE，

∵OE＝ED，∠OBD＝90°，

∴BE＝OE＝ED，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE＝60°，

又∵AC∥OD，

∴∠OAC＝60°，

又∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，

∴AC＝OA＝OE，

∴AC∥OE且AC＝OE，

∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，

∴四边形OACE是菱形；

解图

(3)解：∵CF⊥AB，

∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，

∴∠CAF＝∠DOB，

∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

∴＝，即FC＝，

又∵FG∥BD，

∴△AFG∽△ABD，

∴＝，即FG＝，

∴＝＝2，

∴＝.