2021年九年级中考数学 专题练习：全等三角形（含答案）

2021中考数学 专题练习：全等三角形

一、选择题

1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是(　　)

A．SAS    B．AAA    C．SSS    D．HL

2. 如图，△ABC≌△EDF，DF=BC，AB=ED，AC=15，EC=10，则CF的长是 (　　)

A.5     B.8      C.10    D.15

3. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为              (　　)

A.a+c    B.b+c    C.a-b+c    D.a+b-c

4. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是(　　)

A.△ABD和△CDB的面积相等     

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD      

D.AD∥BC，AD=BC                

5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是(　　)

A．AC＝DF，∠B＝∠E   B．∠A＝∠D，∠B＝∠E

C．AB＝DE，AC＝DF    D．AB＝DE，∠A＝∠D

6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)

A．24         B．30     

C．36         D．42

7. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为              (　　)

A.40°    B.50°    C.55°    D.60°

8. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:

小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.

小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.

则下列说法中正确的是 (　　)

A.小惠的作法正确，小雷的作法错误   

B.小雷的作法正确，小惠的作法错误

C.两人的作法都正确      

D.两人的作法都错误

二、填空题

9. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________．

10. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O到AB的距离为________．

11. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．

12. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．

13. 如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为　　　　. 

14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．

15. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．

16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

三、解答题

17. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，∠B＝∠ECD.求证：△ABC≌△ECD.

18. 如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF.

(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；

(2)求证：PE＝PF.

19. (2019•黄石)如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点．

(1)求证：；

(2)求证：．

20. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.

(1)求证：△ABE≌△CBE；

(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；

(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．

2021中考数学 专题训练：全等三角形-答案

一、选择题

1. 【答案】D

2. 【答案】A　[解析] ∵△ABC≌△EDF，AC=15，

∴EF=AC=15.

∵EC=10，

∴CF=EF-EC=15-10=5.

3. 【答案】D　[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，

又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，

∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，

∴AD=AF+DF=a+b-c，故选D.

4. 【答案】C　[解析] A.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;

B.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;

C.∵△ABD≌△CDB，

∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.

∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;

D.∵△ABD≌△CDB，

∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.

∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.

5. 【答案】B　[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.

6. 【答案】B　[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.

∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，

∴DH＝CD＝4.

∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.

7. 【答案】D　[解析] 因为△ABC≌△ADE，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，所以∠CAB=∠EAD=

180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.

8. 【答案】A　[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.

二、填空题

9. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

10. 【答案】2.5　[解析] 设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.

11. 【答案】17　[解析] 在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC(ASA)．

∴AB＝ED＝17米．

12. 【答案】20

13. 【答案】120°　[解析]如图，设AC，DB的交点为H.

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCB=∠ACE，

在△DCB和△ACE中，

∴△DCB≌△ACE，

∴∠CAE=∠CDB，

又∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，

∴∠AOH=∠DCH=60°，

∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.

14. 【答案】20　[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB＝AE＋EB＝AB.

15. 【答案】两直线平行，内错角相等　SAS　全等三角形的对应角相等　内错角相等，两直线平行

16. 【答案】70

【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．

三、解答题

17. 【答案】

证明：∵C是线段BD的中点，∴BC＝CD.

在△ABC与△ECD中，

∴△ABC≌△ECD.

18. 【答案】

解：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠DEB＝∠DFB＝90°.

∵∠EDF＝124°，

∴∠ABC＝360°－90°－90°－124°＝56°.

(2)证明：∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠ABM＝∠CBM，DE＝DF.

∵∠BDE＝90°－∠ABM，∠BDF＝90°－∠CBM，

∴∠BDE＝∠BDF.

∴∠EDP＝∠FDP.

在△EDP和△FDP中，

∴△EDP≌△FDP(SAS)．∴PE＝PF.

19. 【答案】

(1)如图，

∵，∴是等腰三角形，

又∵为的中点，∴，

在和中，

∵为公共角，，

∴．

(2)∵，∴，

∵，∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

20. 【答案】

 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE.

在△ABE和△CBE中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE(SAS)；

(2)解：如解图①，连接AC交BD于点O，分别过点A、E作BC的垂线，垂足分别为点H、F，

解图①

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵AB＝5，sin∠ABD＝，

∴AO＝OC＝，

∴BO＝OD＝2，

∴AC＝2，BD＝4，

∵AC·BD＝BC·AH，

即×2×4＝5AH，

∴AH＝4，

∵AD∥BC，

∴△AED∽△PEB，

∴＝，

∴＝，

即＝＝，

∴AP＝PE，

又∵EF∥AH，

∴△EFP∽△AHP，

∴＝，

∴EF＝·AH＝×4＝，

∴S△PEC＝PC·EF＝×(5－2)×＝；

(3)解：如解图②，连接AC交BD于点O，

解图②

∵△ABE≌△CBE，CE⊥PE，

∴∠AEB＝∠CEB＝45°，

∴AO＝OE＝，

∴DE＝OD－OE＝2－＝，BE＝3.

∵AD∥BP，

∴△ADE∽△PBE，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝15.