2021年九年级中考数学专题练习：轴对称与中心对称（含答案）

2021中考数学专题练习：轴对称与中心对称

一、选择题

1. 点(－1，2)关于原点的对称点坐标是(　　)

A．(－1，－2)       B．(1，－2)

C．(1，2)        D．(2，－1)

2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于              (　　)

A.120°    B.108°    C.72°    D.36°

3. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(　　)

A．2   B．3   C．4   D．5

4. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是(　　)

A．O1         B．O2 

C．O3         D．O4

5. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是(　　)

A．PA＝PB       B．OA＝OB

C．OP＝OF       D．PO⊥AB

6. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为              (　　)

A.124°    B.115°    C.130°   D.106°

7. [2018·河北] 图是由“○”和“□”组成的轴对称图形，则该图形的对称轴是直线(　　)

A.l1     B.l2     C.l3     D.l4

8. 如图，点P在直线l外，以点P为圆心，大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于点A，B;保持半径不变，分别以点A，B为圆心画弧，两弧相交于点Q，则PQ⊥l.上述尺规作图的依据是              (　　)

A.一条直线与两平行线中的一条垂直，必然与另一条直线也垂直

B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，两点确定一条直线

C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

二、填空题

9. 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形．

10. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为　　　　. 

11. 若将等腰直角三角形AOB按图所示的方式放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为________．

12. 已知点P(x，y)的坐标满足等式(x－2)2＋|y－1|＝0，且点P与点P′关于y轴对称，则点P′的坐标为________．

13. 如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为____________．

14. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．

三、解答题

15. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.

(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;

(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.

16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．

(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1.

(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．

17. 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF、HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

(1)将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________．

(2)▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．

(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．

图1          图2              图3              图4

18. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.

(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；

(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长．

2021中考数学专题训练：轴对称与中心对称-答案

一、选择题

1. 【答案】B

2. 【答案】B　[解析]∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，∴∠C=90°-∠B=54°.

∵AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD，

∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，

∴∠ADC=180°-∠DAC-C=72°.

∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，

∴∠ADF=∠ADC=72°，

∴∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°.故选B.

3. 【答案】B　[解析] 线段、矩形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B.

4. 【答案】A　[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.

5. 【答案】C　[解析] 由作图可知，EF垂直平分AB，因此可得OA＝OB，PO⊥AB，由线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，但不能得到OP＝OF.

6. 【答案】C　[解析] 连接AD，如图.

∵点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，

∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD.

∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.

∴∠EAF=2∠BAC=130°.

故选C.

7. 【答案】C　[解析] 沿着直线l3折叠，直线两旁的部分能够互相重合，因此该图形的对称轴是直线l3.

8. 【答案】C　

二、填空题

9. 【答案】3　[解析] 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形，所以两个三角形中对应相等的两

条边重合只能拼一个．因为三角形只有三条边，所以只有三种情况．

10. 【答案】12　[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，

∴菱形的面积=×6×8=24.

∵点O是菱形两条对角线的交点，

∴阴影部分的面积=×24=12.

11. 【答案】(－1，－1)　[解析] 如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，∴OD＝AD＝1，∴A(1，1)，∴点A关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．

12. 【答案】(－2，1)　[解析] ∵(x－2)2≥0，|y－1|≥0，又(x－2)2＋|y－1|＝0，∴x－2＝0且y－1＝0，即x＝2，y＝1.∴点P的坐标为(2，1)．那么点P关于y轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．

13. 【答案】(－a，－b＋2)　[解析] 如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点A′作A′D′⊥y轴于点D′，则△ACD≌△A′CD′，∴A′D′＝AD＝a，CD′＝CD＝－b＋1，∴OD′＝－b＋2，∴点A′的坐标为(－a，－b＋2)．

14. 【答案】．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为．

三、解答题

15. 【答案】

解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠BAC=25°.

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°.

∴∠EDA=90°-25°=65°.

(2)证明:∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC.

又∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD.

∴AE=AC，DE=DC.

∴点A，D都在线段CE的垂直平分线上.

∴直线AD是线段CE的垂直平分线.

16. 【答案】

【思维教练】要作△ABC关于点O的中心对称图形，可先分别求出点A，B，C关于点O 中心对称点，再顺次连接即可；(2)先作出点A′，再根据点A′在ΔA1B1C1，从而得出平移距离a满足A′A1<a<A′D(其中点D是A′A1与B1C1的交点)．

解：(1)如解图，△A1B1C1就是所求作的图形：(2分)

(2)A′如图所示；(4分)

a的取值范围是4＜a＜6.(6分)

17. 【答案】

【思维教练】(2)AD＝DH＋AH，由折叠性质和全等三角形得出DH＝HN，FN＝AH，即AD＝FH，由叠合矩形的概念可知∠FEH＝90°，利用勾股定理求出AD；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．

解：(1)AE，GF；1∶2(2分)

(2)∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH＝90°，又EF＝5，EH＝12.

∴FH＝＝＝13.(4分)

由折叠的轴对称性可知，DH＝HN，AH＝HM，CF＝FN.

易证△AEH≌△OGF，∴CF＝AH.(5分)

∴AD＝DH＋AH＝HN＋FN＝FH＝13.(6分)

(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)

                                           1               2

按解图1的折法，则AD＝1，BC＝7；

按解图2的折法，则AD＝，BC＝.(10分)

18. 【答案】

(1)如解图①，

∵折叠后点A落在AB边上的点D处，

解图①

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF＝S△DEF，

∵S四边形ECBF＝3S△EDF，

∴S四边形ECBF＝3S△AEF，

∵S△ACB＝S△AEF＋S四边形ECBF，

∴S△ACB＝S△AEF＋3S△AEF＝4S△AEF，

∴，

∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∴

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB2＝AC2＋BC2，

即AB＝＝5，

∴()2＝，

∴AE＝；

(2)①四边形AEMF是菱形．

证明：如解图②，

∵折叠后点A落在BC边上的点M处，

∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，

又∵MF∥CA，

∴∠CEM＝∠EMF，

∴∠CAB＝∠CEM，

∴EM∥AF，

∴四边形AEMF是平行四边形，而AE＝ME，

∴四边形AEMF是菱形，

解图②

②如解图②，连接AM，与EF交于点O，设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x，

∵∠CEM＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，

∴Rt△ECM∽Rt△ACB，

∴＝，

∵AB＝5，

∴解得x＝，

∴AE＝ME＝，EC＝，

在Rt△ECM中，∵∠ECM＝90°，

∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝＝＝，

∵四边形AEMF是菱形，

∴OE＝OF，OA＝OM，AM⊥EF，

∴S＝4S△AOE＝2OE·AO，

在Rt△AOE和Rt△ACM中，

∵tan∠EAO＝tan∠CAM，

∴＝，

∵CM＝，AC＝4，

∴AO＝3OE，

∴S＝6OE2，

又∵S＝AE·CM，

∴6OE2＝×，解得OE＝，

∴EF＝2OE＝.