2021年九年级中考数学 专题练习：圆的有关性质（含答案）

2021中考数学 专题练习：圆的有关性质

一、选择题

1. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为              (　　)

A.2    B.4     C.2    D.4.8

2. 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(　　)

A. 40°　　　　　　B. 45°　　　　　　C. 50°　　　　　　D. 60°

3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是(　　)

A．OE＝BE        B.＝

C．△BOC是等边三角形      D．四边形ODBC是菱形

4. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为(　　)

A．3     B．2.5     C．4     D．3.5

5. 2019·武汉京山期中 在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升(　　)

A．1分米        B．4分米

C．3分米        D．1分米或7分米

6. (2019•镇江)如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于

A． B．
C． D．

7. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)

A．19     B．16     C．18     D．20

8. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为(　　)

A．5     B.    C．5     D．5

二、填空题

9. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.

10. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了　　　　cm. 

11. 2018·孝感 已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.

12. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．

13. 如图，在☉O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交☉O于点D，则CD的最大值为　　　　. 

14. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝2，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．

15. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.

16. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.

三、解答题

17. 如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.

(1)求证:△DOE∽△ABC;

(2)求证:∠ODF=∠BDE.

18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

19. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，＝，BE交AC于点F.

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)判断△BCF的形状并说明理由；

(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求的长度(结果保留π).

20. 如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A、C重合)．

(1)求∠APC与∠ACD的度数；

(2)当点P移动到劣弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；

(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案

一、选择题

1. 【答案】C　[解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.

∵OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，

∴BD==2，故选C.

2. 【答案】A　【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝40°，故选A.

3. 【答案】B　[解析] AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，由垂径定理可以得到CE＝DE，＝，＝.但并不一定能得到OE＝BE，OC＝BC，从而A，C，D选项都是错误的．

故选B.

4. 【答案】C

5. 【答案】D

6. 【答案】A

【解析】如图，连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°，

∵，∴∠CAB=∠DAB=35°，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A．

7. 【答案】D　[解析] 如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠A＝∠B＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD＝DB＝AB＝12，∠ADB＝∠A＝60°，

∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°，∴DE＝OD＝2，∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理，知BC＝2BE＝20.

8. 【答案】D　[解析] 如图，连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D.由PB＝AB可知＝，从而可知OB⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB为等边三角形，在Rt△OAD中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD的长，从而可求出AP的长为5 .故选D.

二、填空题

9. 【答案】50°　【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△BAT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.

10. 【答案】10或70　[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.

由垂径定理得:BC=AB=30 cm.

在Rt△OBC中，OC==40(cm).

当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，

圆心到水面距离==30(cm)，

水面上升的高度为:40-30=10(cm).

当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).

综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.

故答案为10或70.

11. 【答案】2或14　[解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点F，交AB于点E，如图①，

∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，

∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.

∵OA＝OC＝10 cm，

∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，

∴EF＝OF－OE＝2 cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥CD于点E并反向延长交AB于点F，如图②，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，

∴AF＝8 cm，CE＝6 cm.

∵OA＝OC＝10 cm，

∴OF＝6 cm，OE＝8 cm，

∴EF＝OF＋OE＝14 cm.

∴AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.

12. 【答案】5　[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，

∴PE＝EA.

同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，

∴EF＝AB＝5.

13. 【答案】　[解析]连接OD，因为CD⊥OC，所以CD=，

根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时CD最大.当OC⊥AB时OC最小，CD最大值=AB=.

14. 【答案】　[解析] 如图，连接OD，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝AB＝.∵CD⊥OC，∴CD＝.∵OD为⊙O的半径，∴当OC最小时，CD最大．当点C运动到点H时，OC最小，此时CD＝BH＝，即CD的最大值为.

15. 【答案】40　[解析] ∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.

16. 【答案】10或70　[解析] 对于半径为50 cm的圆而言，圆心到长为60 cm的弦的距离为40 cm，到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm或70 cm.

三、解答题

17. 【答案】

证明:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.

∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB.

∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE∽△ABC.

(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE=∠A.

∵∠A和∠BDC都是所对的圆周角，

∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC.

∴∠ODF=∠BDE.

18. 【答案】

解:连接CO并延长，交AB于点D，∴CD⊥AB，且D为AB中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.

在Rt△AOD中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°，

∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈=4，

∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).

答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

19. 【答案】

 (1)证明：∵BC2＝CD·CA，

∴＝，

∵∠C＝∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴∠CBD＝∠BAC，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即∠BAC＋∠ABD＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°，

即AB⊥BC，

又∵AB为⊙O的直径，

∴BC为⊙O的切线；

(2)解：△BCF为等腰三角形．

证明如下：∵＝，

∴∠DAE＝∠BAC，

又∵△CBD∽△CAB，

∴∠BAC＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠DAE，

∵∠DAE＝∠DBF，

∴∠DBF＝∠CBD，

∵∠BDF＝90°，

∴∠BDC＝∠BDF＝90°，

∵BD＝BD，

∴△BDF≌△BDC，

∴BF＝BC，

∴△BCF为等腰三角形；

(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°

∵BC2＝CD·CA，

∴AC＝＝＝25，

由勾股定理得AB＝＝＝20，

∴⊙O的半径为r＝＝10，

∵∠BAC＝36°，

∴所对圆心角为72°.

则＝＝4π.

20. 【答案】

(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，

∴AC＝OA＝OC，

∴△ACO为等边三角形，

∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，

∴∠APC＝∠AOC＝30°，

又∵DC与⊙O相切于点C，

∴OC⊥DC，

∴∠DCO＝90°，

∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；

解图

(2)证明：如解图，连接PB，OP，

∵AB为直径，∠AOC＝60°，

∴∠COB＝120°，

当点P移动到的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，

∴△COP和△BOP都为等边三角形，

∴OC＝CP＝OB＝PB，

∴四边形OBPC为菱形；

(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，

∴∠CAP＝∠ACB＝90°，

在Rt△ABC与Rt△CPA中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．