备战2021年高考物理一轮复习 易错点05 万有引力与航天(全国通用）

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易错题【01】对开普勒三大定律和万有引律理解有误


一、开普勒行星运动定律


1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。


2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。[注1]


3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。


二、万有引力定律[注2]


1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。


2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，其值为G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。


3．适用条件


(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。


(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。


易错题【02】对天体质量和密度的计算公式运用有误


天体质量和密度的计算


1．“自力更生”法(g－R)


利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。


(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。


(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。


(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。


2．“借助外援”法(T－r)


测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。


(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。


(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。


(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT 2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。


易错题【03】对万有引律计算有误


万有引力的三种计算思路


eq \a\vs4\al(一用万有引力定律计算质点间的万有引力)


公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。


eq \a\vs4\al(二推论法计算万有引力)


推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。


推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。





三填补法求解万有引力


运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。








01 对开普勒三大定律理解不到位


1、火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )


A．太阳位于木星运行轨道的中心


B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等


C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方


D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积


【警示】本题容易出错的主要原因是对周期定律运用理解有误。


【解析】 太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq \f(r火3,T火2)＝eq \f(r木3,T木2)，故eq \f(T火2,T木2)＝eq \f(r火3,r木3)，C正确。


【答案】C


【叮嘱】解题的关键要从周期定律运用出发





1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )


A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律


B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律


C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因


D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律


【答案】B


【解析】开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。


2．对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )


A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律


B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置


C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小


D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比


【答案】C


【解析】第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。





02 对天体质量和密度计算有误


1、1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是( )


A．地球的质量m地＝eq \f(GR2,g)


B．太阳的质量m太＝eq \f(4π2L23,GT22)


C．月球的质量m月＝eq \f(4π2L12,GT12)


D．由题中数据可求月球的密度


【错因】本题容易出错的主要原因是对质量计算有误


【解析】若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有Geq \f(m地m,R2)＝mg，则m地＝eq \f(gR2,G)，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有Geq \f(m太m地,L22)＝m地eq \f(4π2,T22)L2，则m太＝eq \f(4π2L23,GT22)，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误。


【答案】B


【叮嘱】合理运用天体运动公式





1．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )


A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)


B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期


C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离


D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离


【答案】D


【解析】由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有Geq \f(Mm0,R2)＝m0g，故可得M＝eq \f(gR2,G)，故A项不选；由万有引力提供人造卫星的向心力，有Geq \f(Mm1,R2)＝m1eq \f(v2,R)，v＝eq \f(2πR,T)，联立得M＝eq \f(v3T,2πG)，故B项不选；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有Geq \f(Mm2,r2)＝m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T′)))2r，故可得M＝eq \f(4π2r3,GT′2)，故C项不选；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D。


2．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )


A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3


C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3


【答案】C


【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3。


03 对万有引律计算有误


1、宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )


A．0 B．eq \f(GM,R＋h2)


C．eq \f(GMm,R＋h2) D．eq \f(GM,h2)





【错因】本题容易出错的主要原因是万有引力分析有误


【解析】 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即Geq \f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq \f(GM,R＋h2)，选项B正确。


[答案] B


【叮嘱】正确选取万有引力





1．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )


A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2


【答案】A


【解析】 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝Geq \f(M′m,r2)，又M＝ρV＝ρ·eq \f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq \f(4,3)π(R－d)3，联立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A正确。


2．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星。假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g取10 m/s2)( )


A．5∶2 B．2∶5


C．1∶10 D．10∶1


【答案】D


【解析】错根据h＝eq \f(v02,2g)和g＝eq \f(GM,R2)可得，M＝eq \f(R2v02,2Gh)，即ρeq \f(4,3)πR3＝eq \f(R2v02,2Gh)，行星平均密度ρ＝eq \f(3v02,8πGRh)∝eq \f(1,Rh)，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝eq \f(v02,2g地)＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。





1、如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )


A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)


B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大


C．从P到Q阶段，速率逐渐变小


D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功


2. 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )


A．2∶1 B．4∶1


C．8∶1 D．16∶1








3.如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )


A．T卫＜T月 B．T卫＞T月


C．T卫＜T地 D．T卫＝T地


4、有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )


A．eq \f(1,4) B．4倍


C．16倍 D．64倍





5、对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化。某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求出地球的质量为(已知引力常量为G)( )


A．eq \f(4π2a,Gb) B．eq \f(4π2b,Ga)


C．eq \f(Ga,4π2b) D．eq \f(Gb,4π2a)





6、若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )


A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq \f(1,602)


B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq \f(1,602)


C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq \f(1,6)


D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq \f(1,60)


7、宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为( )


A．eq \f(2hR2,Gt2) B．eq \f(2hR2,Gt)


C．eq \f(2hR,Gt2) D．eq \f(Gt2,2hR2)


8．2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )


A．密度 B．向心力的大小


C．离地高度 D．线速度的大小





9、据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g＝10 m/s2)( )


A．40 kg B．50 kg


C．60 kg D．30 kg


10、德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律。设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k1，土星的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k2，地球的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k3。已知M太>M土>M地，则三者大小关系为( )


A．k1＝k2＝k3 B．k1>k2>k3


C．k1M土>M地，因此k1>k2>k3，故B正确，A、C、D错误。