2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《等腰三角形性质应用》专题训练含答案

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2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形性质应用》专题突破训练
1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．70°
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
6．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）

A．（）n•75° B．（）n﹣1•65°
C．（）n﹣1•75° D．（）n•85°
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）

A．45° B．15° C．10° D．125°
8．如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．36° C．40° D．45°
10．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F，若DF=5，则AC的长为（ ）

A．5 B．8 C．10 D．15
12．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
13．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　 　（度）．

14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　 　．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为　 　．
16．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是　 　．

17．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为　 　cm．
18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为　 　．
19．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　 　．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　 　cm．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　 　．

22.如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．


23．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为　 　度．

24．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　 　．
25．等腰△ABC纸片（AB＝AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B＝　 　度．

26．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为　 　度．

27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　 　．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．

29．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

30．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．


31．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．



32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．






33．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．



2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形性质应用》专题突破训练答案
1．解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，
∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°，
∴∠B＝25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°，
故选：D．
2．解：∵AE∥BD，
∴∠CBD＝∠E＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠CBA＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°．
故选：A．
3．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
4．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．

5．解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
6．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
7．解:△ADE是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
8．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°
故选：B．
10．解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
11．解:因为AF平分∠CAB,所以∠CAF=∠BAF,又因为D,E是AC,BC的中点,所以DE∥AB,所以∠BAF=∠DFA,所以∠CAF=∠DFA,所以DA=DF=5,所以AC=10,故选C.
12.解:∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．故选B．
13．解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝45°，
∴∠DCE＝45°．
故答案为：45．
14．解：当高在三角形内部时，顶角是60°；
当高在三角形外部时，顶角是120°．
故答案为：60°或120°．
15．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；

②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．

所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
16．解：设∠A＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，
∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，
∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，
∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，
…，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，
即x+7x+7x＝180°，
解得x＝12°，
即∠A＝12°．
故答案为：12°．

17．解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长＝5+5+2＝12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2＝4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
18．解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝48°，
∴∠A＝90°﹣48°＝42°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣42°）＝69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣48°＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣42°＝138°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣138°）＝21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．


19．解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
20．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
21．解：∵AB＝AC，
BE＝a，AE＝b，
∴AC＝AB＝a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝b，
∴∠ECA＝∠BAC＝36°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠ECB＝72°，
∴CE＝BC＝b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝2a+3b
故答案为：2a+3b．
15．解:延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，

∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
23．解：∵AB＝AC，∠A＝32°，
∴∠ABC＝∠ACB＝74°，
又∵BC＝DC，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝37°．
故答案为：37．
24．解：因为2+2＝4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2＝10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
25．解：如图：

由题意知：AD＝BD＝BC，∠A＝∠ABD，∠BCD＝∠BDC，
∵∠C＝∠BDC＝2∠A，∠A+2∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，即∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°．
故填：72°．
26．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝74°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝74°，
∴∠B＝37°，
故答案为37°．
27．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝50°，
∴∠ADC＝130°，
当∠ADB＝90°时，则
∠ADC＝90°，
故答案为：130°或90°．
28．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°．，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD．，
∴∠CBE＝∠BAD．
29．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．

30．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
31．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．

32．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
33．解：（1）由图①可猜想PD＝PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD＝PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°．
∴∠ACP＝∠B＝45°．
又∵∠DPC+∠CPE＝∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC＝∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD＝PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE＝PB时，此时点C与点E重合，CE＝0；
②当BP＝BE时，E在线段BC上，；E在CB的延长线上，；
③当EP＝EB时，CE＝1．