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2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《等腰三角形判定应用》专题训练含答案
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这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《等腰三角形判定应用》专题训练含答案，共34页。试卷主要包含了如图，坐标平面内一点A，已知等内容，欢迎下载使用。
2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形判定应用》专题突破训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
5．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40° ，∠B＝50° B．∠A＝40°， ∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°
6．已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
7．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
9．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
11．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
12．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
13．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
15．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（ ）
A．7个 B．8个 C．10个 D．12个
16．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
18．如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ．
19．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有 个．
21．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为 时，△ABC是等腰三角形．
22．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
23．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），连接AO，点P在x轴上，使△AOP为等腰三角形的点P的个数有 个．
25．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
26．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，则底边长为 cm．
27．在△ABC中，∠A＝50°，当∠B的度数＝ 时，△ABC是等腰三角形．
28．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
29．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为 cm．
30．如图，已知平面直角坐标系中有点A（3，0）和点B（0，﹣4），在x轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则C坐标为 ．
31．如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 个．
32．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
33．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则满足条件的点P坐标是 ．
34．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
35．如图，平面直角坐标系内有一点A（2，﹣2），O是原点，P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为 ．
36．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
37．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
38．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
39．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
41．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
42．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
43．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线，求证：△BCD是等腰三角形．
2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形判定应用》专题突破训练答案
1．解：共有5个．
（1）∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．
2．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．
3．解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选：C．
4．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
5．解；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠50°，
当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠B＝60°时，∠A＝60°≠40°，
当∠A＝40°时，∠B＝70°≠60°，
所以B选项错误．
当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，
所以C选项正确．
当顶角为∠A＝40°时，∠B＝70°≠80°，
当顶角为∠B＝80°时，∠A＝50°≠40°
所以D选项错误．
故选：C．
6．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：A．
7．解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
8．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC＝EB，AE＝AC＝AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AE交圆于点D，则有AC＝AD，AD＝AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选：D．
9．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
10．解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
11．解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
12．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选：D．
13．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选：D．
14．解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选：B．
15．解：∵AB＝＝2，如图所示：
∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA＝CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．故选：C．
16．解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB＝45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝4，
∴OM＝4，
当M与D重合时，即x＝OM﹣DM＝4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x＝0或x＝4﹣4或4．
故答案为：x＝0或x＝4﹣4或4．
17．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
18．解：如图所示，满足条件的点P有8个，
分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）（0，）（，0）．
故答案为：8；（5，0）（答案不唯一，写出8个中的一个即可）．
19．解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故答案为：7．
20．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
同理△AEC也是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°，
∴OD＝OE，OB＝OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形，
∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°，
∴CD＝CO，BE＝OB，
∴△CDO，△BOE也是等腰三角形，
所以共有12个等腰三角形．
故填12．
21．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
22．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
23．解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
24．解：如图，
OA＝；
①若OA＝AP，则点P″（4，0），P（﹣2，0）；
②若OA＝OP，则点P′（2，0），P″（2，0）；故答案为：4．
25．解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；
②AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝40°；
（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．
故答案为：40°或70°或100°．
26．解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴底边长为4cm，故答案为：4
27．解：①∠A是顶角，∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝65°；
②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
28．解：分为以下5种情况：
①OA＝OP，
∵∠AOB＝30°，OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝（180°﹣30°）＝75°；
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠AOM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
④AB＝BP，
∵∠ABM＝60°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABO＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．
29．解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BD＝AD＝4cm，AB＝8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC＝18cm，
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝18cm．
故填18．
30．解：∵A（3，0）和点B（0，﹣4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
如图：
①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于AC1＝AC4＝5此时两点C1（﹣2，0），C4（8，0）；
②当AC＝BC时，此时点C在AB的垂直平分线上，C3（﹣，0）；
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C2，此时AB＝BC，点C2（﹣3，0）；
综上所述点C的坐标为：（﹣3，0）、（8，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．
故答案为：（﹣3，0）、（8，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．
31．解：如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
32．解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，故答案为4．
33．解：已知点A的坐标为（2，2），则△OAP的边OA＝2，这条边可能是底边也可能是腰．
①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与x轴的交点，这两个点的坐标是（2，0）；
②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣2，0）；
③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与x轴的交点坐标是（4，0）．
故答案为：（2，0）（﹣2，0）（2，0）（4，0）
34．解：①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；
共1+2+1＝4．故答案为：4．
35．解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个，即（2，0）；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个即（﹣2，0），（2，0），（4，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（，0）或（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
故答案是：（，0）或（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
36．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
37．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
38．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
39．解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B（公共角），∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA＝BC，∠BAD＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
40．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
41．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE．
（2）解：∵∠CEB＝∠CBE＝80°，
∴∠C＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣20°＝70°．
42．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
43．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
44．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是 AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形．
2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形判定应用》专题突破训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
5．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40° ，∠B＝50° B．∠A＝40°， ∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°
6．已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
7．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
9．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
10．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
11．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
12．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
13．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
15．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（ ）
A．7个 B．8个 C．10个 D．12个
16．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
18．如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ．
19．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中等腰三角形共有 个．
21．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为 时，△ABC是等腰三角形．
22．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
23．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），连接AO，点P在x轴上，使△AOP为等腰三角形的点P的个数有 个．
25．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
26．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，则底边长为 cm．
27．在△ABC中，∠A＝50°，当∠B的度数＝ 时，△ABC是等腰三角形．
28．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
29．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为 cm．
30．如图，已知平面直角坐标系中有点A（3，0）和点B（0，﹣4），在x轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则C坐标为 ．
31．如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 个．
32．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
33．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则满足条件的点P坐标是 ．
34．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
35．如图，平面直角坐标系内有一点A（2，﹣2），O是原点，P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为 ．
36．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
37．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
38．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
39．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
41．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：CB＝CE；
（2）若∠CEB＝80°，求∠DBC的大小．
42．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
43．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．求证：△ABC为等腰三角形．
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线，求证：△BCD是等腰三角形．
2021年九年级数学中考一轮复习《等腰三角形判定应用》专题突破训练答案
1．解：共有5个．
（1）∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．
2．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．
3．解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选：C．
4．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
5．解；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠50°，
当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠B＝60°时，∠A＝60°≠40°，
当∠A＝40°时，∠B＝70°≠60°，
所以B选项错误．
当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，
所以C选项正确．
当顶角为∠A＝40°时，∠B＝70°≠80°，
当顶角为∠B＝80°时，∠A＝50°≠40°
所以D选项错误．
故选：C．
6．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：A．
7．解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
8．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC＝EB，AE＝AC＝AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AE交圆于点D，则有AC＝AD，AD＝AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选：D．
9．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
10．解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，
故不能判定△ABC是等腰三角形．
故选：C．
11．解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
12．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选：D．
13．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选：D．
14．解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选：B．
15．解：∵AB＝＝2，如图所示：
∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA＝CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．故选：C．
16．解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB＝45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝4，
∴OM＝4，
当M与D重合时，即x＝OM﹣DM＝4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x＝0或x＝4﹣4或4．
故答案为：x＝0或x＝4﹣4或4．
17．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
18．解：如图所示，满足条件的点P有8个，
分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）（0，）（，0）．
故答案为：8；（5，0）（答案不唯一，写出8个中的一个即可）．
19．解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故答案为：7．
20．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
同理△AEC也是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°，
∴OD＝OE，OB＝OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形，
∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°，
∴CD＝CO，BE＝OB，
∴△CDO，△BOE也是等腰三角形，
所以共有12个等腰三角形．
故填12．
21．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
22．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
23．解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
24．解：如图，
OA＝；
①若OA＝AP，则点P″（4，0），P（﹣2，0）；
②若OA＝OP，则点P′（2，0），P″（2，0）；故答案为：4．
25．解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；
②AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝40°；
（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．
故答案为：40°或70°或100°．
26．解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴底边长为4cm，故答案为：4
27．解：①∠A是顶角，∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝65°；
②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
28．解：分为以下5种情况：
①OA＝OP，
∵∠AOB＝30°，OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝（180°﹣30°）＝75°；
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
③AB＝AP，
∵∠AOM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
④AB＝BP，
∵∠ABM＝60°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABO＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．
29．解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BD＝AD＝4cm，AB＝8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC＝18cm，
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝18cm．
故填18．
30．解：∵A（3，0）和点B（0，﹣4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
如图：
①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于AC1＝AC4＝5此时两点C1（﹣2，0），C4（8，0）；
②当AC＝BC时，此时点C在AB的垂直平分线上，C3（﹣，0）；
③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C2，此时AB＝BC，点C2（﹣3，0）；
综上所述点C的坐标为：（﹣3，0）、（8，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．
故答案为：（﹣3，0）、（8，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．
31．解：如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
32．解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，故答案为4．
33．解：已知点A的坐标为（2，2），则△OAP的边OA＝2，这条边可能是底边也可能是腰．
①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与x轴的交点，这两个点的坐标是（2，0）；
②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣2，0）；
③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与x轴的交点坐标是（4，0）．
故答案为：（2，0）（﹣2，0）（2，0）（4，0）
34．解：①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；
共1+2+1＝4．故答案为：4．
35．解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个，即（2，0）；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个即（﹣2，0），（2，0），（4，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（，0）或（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
故答案是：（，0）或（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
36．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
37．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
38．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
39．解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B（公共角），∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA＝BC，∠BAD＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
40．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
41．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CB＝CE．
（2）解：∵∠CEB＝∠CBE＝80°，
∴∠C＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣20°＝70°．
42．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
43．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
44．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是 AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形．
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