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2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《二次函数最值应用》专题训练含答案
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这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《二次函数最值应用》专题训练含答案，共25页。试卷主要包含了若一次函数y＝，二次函数y＝﹣，y＝x2+，如图，已知点A等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学一轮复习高频考点《二次函数最值应用》小专题突破训练
1．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（ ）
A．有最大值． B．有最大值﹣．
C．有最小值． D．有最小值﹣．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
5．y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
6．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（ ）
A．有最小值，且最小值是 B．有最大值，且最大值是﹣
C．有最大值，且最大值是 D．有最小值，且最小值是﹣
7．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
8．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或3
9．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
10．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x＝ 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
11．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是 ．
12．若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是 ．
13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为 ．
14．函数y＝（x﹣1）2+1的最小值y等于 ．
15．若抛物线y＝﹣x2+4x+k的最大值为3，则k＝ ．
16．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1的最大值为 ．
17．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
18．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ．
19．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是 ．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ．
21．当x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
22．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是 ．
23．如果对于任意两个实数a、b，“*”为一种运算，定义为a*b＝a+2b，则函数y＝x2*（2x）+2*4（﹣3≤x≤3）的最大值与最小值的和为 ．
24．甲，乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为﹣2”．乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”．你认为 （填写“甲对”，“乙对”，“甲，乙都对”或“甲乙都不对”）的．你还可以用 法等方法来解决．
25．在二次函数y＝ax2+bx+c中，若b2＝ac，且当x＝0时，y＝﹣4，则y有最 值，且该值为 ．
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
27．在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a＝3．求方程组的解；
（2）若S＝a（3x+y），当a为何值时，S有最值．
28．如图，线段AD＝5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB＝x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，则x＝ ；
（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．
29．在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．
（1）在运动中，点E，F，G，H所形成的四边形EFGH为（ ）
A：平行四边形；B：矩形；C：菱形；D：正方形．
（2）四边形EFGH的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是（ ）
（3）写出四边形EFGH的面积S（cm2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？
30．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
31．如图，边长为4的等边三角形ABC内接于⊙O，直线EF经过边AC，BC的中点，交⊙O于D、G两点．
（1）求证：△CED≌△CFG；
（2）设ED＝a，EB＝b，问：在线段EF上是否存在点M，EM的长m能使是方程组的解？若存在，求二次函数的最大值或最小值；若不存在，说明理由．
32．某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1 与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
33．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB为⊙O的直径．
（1）若AD＝2，AB＝BC＝8，连接OC、OD．
①求△COD的面积；
②试判断直线CD与⊙O的位置关系，说明理由．
（2）若直线CD与⊙O相切于F，AD＝x（x＞0），AB＝8．试用x表示四边形ABCD的面积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．
34．如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，∠AOB＝90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若tan∠CDO＝，求矩形CDEF面积的最大值．
35．四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图所示的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点出发沿折线段OA﹣AB以每秒2个单位长的速度向终点B运动；同时，点N从B点出发沿折线段BC﹣CO以每秒1个单位长的速度向终点O运动、设运动时间为t秒．
（1）当点M运动到A点时，N点距原点O的距离是多少？当点M运动到AB上（不含A点）时，连接MN，t为何值时能使四边形BCNM为梯形？
（2）0≤t＜2时，过点N作NP⊥x轴于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ
①求△AMQ的面积S与时间t的函数关系式（不必写出t的取值范围）
②当t取何值时，△AMQ的面积最大？最大值为多少？
③当△AMQ的面积达到最大时，其是否为等腰三角形？请说明理由．
36．如图：△ACB与△DCE是全等的两个直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD′；
（3）在△DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使△DCE与△ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．
2021年中考数学一轮复习高频考点《二次函数最值应用》小专题突破训练答案
1．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，
故选：B．
2．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
3．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
4．解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，
∴m，n，k最小为0，当n＝0时，k最大为：，
∴0≤k，
∵2k2﹣8k+6＝2（k﹣2）2﹣2，
∴a＝2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，
∴k＝时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6＝2.5．
故选：D．
5．解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3范围内时，此时，对称轴一定在x≥3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，
x＝≥3，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3范围内时，对称轴一定是在x≥（1+3）＝2的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即：
x＝≥，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）
综合上所述a≥5．
故选：B．
6．解：因为M，N两点关于y轴对称，所以设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），
又因为点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，所以，整理得，
故二次函数y＝abx2+（a+b）x为y＝x2+3x，
所以二次项系数为＞0，故函数有最小值，最小值为y＝＝﹣．
故选：D．
7．解：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝3，DE⊥OA，
∴OE＝EA＝OA＝2，
由勾股定理得：DE＝，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，
即＝，＝，
解得：BF＝x，CM＝﹣x，
∴BF+CM＝．
故选：A．
8．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故选：D．
9．解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4×t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）2+18，
∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
10．解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，
∴y＝（8﹣x）x，即y＝﹣x2+8x，
∴当x＝﹣＝﹣＝4时，y取得最大值．
故答案为：4．
11．解：设PD＝x，S△PEF＝y，S△AQD＝z，梯形ABCD的高为h，
∵AD＝3，BC＝4，梯形ABCD面积为7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF＝∠QFE，∠EPF＝∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD＝∠EQF，
∴∠EPF＝∠EQF，
∵EF＝FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴＝，＝（）2，
∵S△AQD＝3，∴S△DPF＝x2，
S△APE＝（3﹣x）2，
∴S△PEF＝（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×＝﹣x2+x，
∵y最大值＝＝，即y最大值＝．
∴△PEF面积最大值是．
12．解：∵a+b2＝1，
∴a＝1﹣b2
∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2+）2+2﹣＝2（b2+）2+，
∵b2≥0，
∴2（b2+）2+＞0，
∴当b2＝0，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b2＝1，
∴b2＝1﹣a，
∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a﹣）2+，
∵b2≥0，
∴1﹣a≥0，
∴a≤1，
∴当a＝1，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
13．解：设DE＝x．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴，BE＝，则AE＝4﹣．
则矩形AEDF的面积是x（4﹣）＝﹣+4x，根据二次函数求最值的方法，知矩形面积的最大值是＝3．
故答案为：3．
14．解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，
于是当x＝1时，函数y＝（x﹣1）2+1的最小值y等于1．
15．解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+k的最大值为3，
∴＝3，
∴k＝﹣1．
16．解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，
∴此函数的顶点坐标是（3，﹣1），
即当x＝3时，函数有最大值﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
18．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上，
当m≤﹣1时，
此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，
∴﹣2＝1+2m+1，
∴m＝﹣2；
当﹣1＜m＜2时，
∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，
∴﹣2＝m2﹣2m2+1，
∴m＝±，
∴m＝；
当m≥2时，
此时x＝2时，y的最小值为﹣2，
∴﹣2＝4﹣4m+1，
∴m＝不符合题意，
故答案为：﹣2或．
19．解：∵原式可化为y＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为：﹣6
20．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故答案为：﹣1.5或
21．解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝都不满足﹣1≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
②m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝﹣或2时，二次函数有最大值4．
故答案为：2或．
22．解：线段AB的解析式是y＝x+1（0≤x≤4），
此时w＝x（x+1）＝+x，
则x＝4时，w最大＝8；
线段AC的解析式是y＝x+1（0≤x≤2），
此时w＝x（x+1）＝+x，
此时x＝2时，w最大＝12；
线段BC的解析式是y＝﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w＝x（﹣2x+10）＝﹣2x2+10x，
此时x＝时，w最大＝12.5．
综上所述，当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．
23．解：∵a*b＝a+2b，∴y＝x2*（2x）+2*4＝x2+2×2x+2+2×4＝x2+4x+10＝x2+4x+4+6＝（x+2）2+6，
当﹣3≤x≤3时，
最大值为ymax＝（3+2）2+6＝31，
最小值为ymin＝（﹣2+2）2+6＝6，
因此ymax+ymin＝31+6＝37．
故答案为：37．
24．解：显然乙正确，因为x和一定同号，不可能出现x＝﹣的情况．
根据图象进行分析，或者根据解析式也可分析出y一定是正数．
25．解：∵在二次函数y＝ax2+bx+c中
当x＝0时，y＝﹣4，则c＝﹣4
∵b2＝ac＞0，c＝﹣4＜0，
∴a＜0，y有最大值
且该值为＝＝c （1）
把c＝﹣4代入（1）得：＝＝c＝×（﹣4）＝﹣3．
26．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
27．解：（1）当a＝3时，方程组为，
②×2得，4x﹣2y＝2③，
①+③得，5x＝5，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+2y＝3，
解得y＝1，
所以，方程组的解是；
（2）方程组的两个方程相加得，3x+y＝a+1，
所以，S＝a（3x+y）＝a（a+1）＝（a+）2﹣，
所以，当a＝﹣时，S有最小值﹣．
28．解：（1）∵AD＝5，AB＝x，BE垂直平分CD，
∴BC＝BD＝5﹣x，在△ABC中，AC＝1，
∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x），
解得：2＜x＜3；
（2）∵△ABC为直角三角形，
若AB是斜边，则AB2＝AC2+BC2，
即x2＝（5﹣x）2+1，
∴x＝2.6；
若BC是斜边，则BC2＝AB2+AC2，
即（5﹣x）2＝x2+1，
∴x＝2.4．
故答案为：2.4或2.6．
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
设CF＝h，AF＝m，则W＝（xh）2＝x2h2，
①如图，当2.4＜x＜3时，AC2﹣AF2＝BC2﹣BF2，则1﹣m2＝（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，
得：m＝，
∴h2＝1﹣m2＝，
∴W＝x2h2＝﹣6x2+30x﹣36，
即W＝﹣6（x﹣）2+，
当x＝2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②当2＜x≤2.4时，同理可得：W＝﹣6x2+30x﹣36＝﹣6（x﹣）2+，
当x＝2.4时，W取最大值1.44＜1.5，
综合①②得，W的最大值为1.5．
29．解：（1）易得EH和EF所在的三角形全等，那么EF＝EH，进而求得其它四条边相等，那么EFGH为菱形
由全等得∠AEH＝∠EFB
∵∠EFB+∠BEF＝90°
∴∠AEH+∠BEF＝90°
∴∠HEF＝90°
∴EFGH是正方形；
故选D．
（2）由图可知，当E、F、G、H为四边形ABCD各边中点时，
四边形EFGH面积最小，可得面积变化经过了“由大变小，再由小变大”的过程，
于是可得四边形EFGH的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是抛物线．
故选B．
（3）设AE＝xcm，∴S＝EH2＝AE2+AH2＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18，
可知当x＝3时，S最小值＝18．
30．解：（1）S梯形OPFE＝（OP+EF）•OE＝（25+27）×1＝26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y＝（28﹣3t+28﹣t）t＝﹣2t2+28t＝﹣2（t﹣7）2+98，
所以当t＝7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；
（2）当S梯形OPFE＝S△APF时，
﹣2t2+28t＝，解得t1＝8，t2＝0（舍去）．
当t＝8秒时，FP＝8；
（3）由，
且∠OAB＝∠OAB，
可证得△AF1P1∽△AF2P2．
31．（1）证明：∵E、F为AC、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线．
EF∥AB，∠CEF＝∠CFE即∠DEC＝∠GFC，弧AD＝弧BG，∠DCA＝∠BCG，
又△ABC为等边三角形，AC＝BC则CE＝CF，
∴△CED≌△CFG．
（2）解：将代入消去p得：
＝0，
△＝1﹣4×2×[]，
∵△ABC边长为4，EB＝b＝，
△＝1﹣8×[]，
∴令△≥0，则解得a不符合题意．
∴不存在M点．
32．解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：
设y1＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y1＝20x+540，
利用图象得出函数关系是一次函数关系：
设y2＝ax+c，
∴，
解得：，
∴y2＝10x+630．
（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1（1000﹣50﹣30﹣y1），
＝（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）＝﹣2x2+16x+418，
＝﹣2（ x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）
∵﹣2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450（万元）；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2（1000﹣50﹣30﹣y2）
＝（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣630），
＝（ x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），
∵10≤x≤12时，∴当x＝10时，w最大＝361（万元），
∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
33．解：（1）①S△COD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BOC
＝
＝＝40﹣4﹣16＝20．
（或先证明△COD是直角三角形进而求其面积．）
②过D作DE⊥BC，E是垂足，从而四边形ABED是矩形．
BE＝AD＝2，CE＝6，DE＝AB＝8．
在Rt△CDE中，CD＝10．过O作OF⊥CD于F，
由S△COD＝＝20，可得OF＝4，
表明点O到CD的距离等于⊙O的半径，故直线CD与⊙O相切；
（2）在四边形ABCD中，
∵AD＝x＞0，设BC＝y，则CD＝x+y，CE＝|y﹣x|，
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得
（y﹣x）2+64＝（x+y）2，于是，x＞0．
进而，x＞0．
∵x＞0，，
∴当，x＝4时，有最小值8，从而S有最小值32．
34．解：（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA＝OB＝8，
∴OC＝AC＝OD＝4．
∵∠AOB＝90°，
∴．
在 Rt△ACF中，
∵∠A＝45°，
∴．
∴．
（2）设CD＝x，CF＝y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵，
∴．
∴．
∵∠FCH+∠OCD＝90°，
∴∠FCH＝∠CDO．
∴．
∴．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴．
∴AO＝AH+HC+CO．
∴．
∴．
易知，
∴当x＝5时，矩形CDEF面积的最大值为．
35．解：（1）四边形OABC是等腰梯形，则C（1，2），点M运动到A点时，N运动到C点，ON＝OC＝；
若四边形BCNM为梯形，则NC＝BM，t﹣2＝﹣2（t﹣2），解得：t＝．
（2）①由于点M以每秒2个单位长的速度向终点B运动，点N以每秒1个单位长的速度向终点O运动，
则点Q横坐标为3﹣t，纵坐标由求得：纵坐标为（t+1），
s＝×MA×PQ＝×（4﹣2t）×（t+1）＝﹣t2+t+．
②当t＝时，最大值是．
③是，t＝，PM＝3﹣t﹣2t＝，PA＝4﹣（3﹣t）＝，
则PM＝PA，故△AMQ为等腰三角形．
36．解：（1）DE⊥AB，如图
延长DE交AB于点G，
在△AGE与△DCE中，
∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEC，
∴∠AGE＝∠ECD＝90°，
∴DE⊥AB．
（2）作图如图，当点E恰好落在边AB上，
Rt△D′HF∽Rt△FHB，
∴＝，
解得HB＝1，
∴DD′＝1，
（3）当平移过程中的平移距离为0＜x≤1时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形MCC′E′，
∴四边形MCC′E′面积为：×CC′×（MC+C′E′）＝x（2﹣+2）＝﹣x2+2x；（0＜x≤1），
当1＜x＜2时，△DCE与△ACB的公共部分不是四边形，
当2≤x＜4时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形NCBM，
∵CC'＝x，所以D'C＝4﹣x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴，
，
∴CN＝2﹣，
∴AN＝4﹣（2﹣）＝2+，
∵△ANM∽△ABC，
∴，
∴分别求出AM＝，
NM＝，
∴四边形NCBM面积为：
S△ABC﹣S△ANM＝×2×4﹣××，
＝﹣x2﹣x+，（2≤x＜4）．
2021年中考数学一轮复习高频考点《二次函数最值应用》小专题突破训练
1．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（ ）
A．有最大值． B．有最大值﹣．
C．有最小值． D．有最小值﹣．
2．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
5．y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
6．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（ ）
A．有最小值，且最小值是 B．有最大值，且最大值是﹣
C．有最大值，且最大值是 D．有最小值，且最小值是﹣
7．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
8．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或3
9．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
10．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x＝ 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
11．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是 ．
12．若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是 ．
13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动（不与B、C重合），过D点分别向AB、AC作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为 ．
14．函数y＝（x﹣1）2+1的最小值y等于 ．
15．若抛物线y＝﹣x2+4x+k的最大值为3，则k＝ ．
16．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1的最大值为 ．
17．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 ．
18．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ．
19．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是 ．
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ．
21．当x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
22．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是 ．
23．如果对于任意两个实数a、b，“*”为一种运算，定义为a*b＝a+2b，则函数y＝x2*（2x）+2*4（﹣3≤x≤3）的最大值与最小值的和为 ．
24．甲，乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为﹣2”．乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”．你认为 （填写“甲对”，“乙对”，“甲，乙都对”或“甲乙都不对”）的．你还可以用 法等方法来解决．
25．在二次函数y＝ax2+bx+c中，若b2＝ac，且当x＝0时，y＝﹣4，则y有最 值，且该值为 ．
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
27．在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a＝3．求方程组的解；
（2）若S＝a（3x+y），当a为何值时，S有最值．
28．如图，线段AD＝5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB＝x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，则x＝ ；
（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．
29．在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．
（1）在运动中，点E，F，G，H所形成的四边形EFGH为（ ）
A：平行四边形；B：矩形；C：菱形；D：正方形．
（2）四边形EFGH的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是（ ）
（3）写出四边形EFGH的面积S（cm2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？
30．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
31．如图，边长为4的等边三角形ABC内接于⊙O，直线EF经过边AC，BC的中点，交⊙O于D、G两点．
（1）求证：△CED≌△CFG；
（2）设ED＝a，EB＝b，问：在线段EF上是否存在点M，EM的长m能使是方程组的解？若存在，求二次函数的最大值或最小值；若不存在，说明理由．
32．某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1 与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
33．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB为⊙O的直径．
（1）若AD＝2，AB＝BC＝8，连接OC、OD．
①求△COD的面积；
②试判断直线CD与⊙O的位置关系，说明理由．
（2）若直线CD与⊙O相切于F，AD＝x（x＞0），AB＝8．试用x表示四边形ABCD的面积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．
34．如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，∠AOB＝90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若tan∠CDO＝，求矩形CDEF面积的最大值．
35．四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图所示的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点出发沿折线段OA﹣AB以每秒2个单位长的速度向终点B运动；同时，点N从B点出发沿折线段BC﹣CO以每秒1个单位长的速度向终点O运动、设运动时间为t秒．
（1）当点M运动到A点时，N点距原点O的距离是多少？当点M运动到AB上（不含A点）时，连接MN，t为何值时能使四边形BCNM为梯形？
（2）0≤t＜2时，过点N作NP⊥x轴于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ
①求△AMQ的面积S与时间t的函数关系式（不必写出t的取值范围）
②当t取何值时，△AMQ的面积最大？最大值为多少？
③当△AMQ的面积达到最大时，其是否为等腰三角形？请说明理由．
36．如图：△ACB与△DCE是全等的两个直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD′；
（3）在△DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使△DCE与△ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．
2021年中考数学一轮复习高频考点《二次函数最值应用》小专题突破训练答案
1．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，
故选：B．
2．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
3．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
4．解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1＝2k+n＝1，
∴m，n，k最小为0，当n＝0时，k最大为：，
∴0≤k，
∵2k2﹣8k+6＝2（k﹣2）2﹣2，
∴a＝2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，
∴k＝时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6＝2.5．
故选：D．
5．解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤3范围内时，此时，对称轴一定在x≥3的右边，函数方能在这个区域取得最大值，
x＝≥3，即a≥7，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤3范围内时，对称轴一定是在x≥（1+3）＝2的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即：
x＝≥，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）
综合上所述a≥5．
故选：B．
6．解：因为M，N两点关于y轴对称，所以设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），
又因为点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，所以，整理得，
故二次函数y＝abx2+（a+b）x为y＝x2+3x，
所以二次项系数为＞0，故函数有最小值，最小值为y＝＝﹣．
故选：D．
7．解：
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝3，DE⊥OA，
∴OE＝EA＝OA＝2，
由勾股定理得：DE＝，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，
即＝，＝，
解得：BF＝x，CM＝﹣x，
∴BF+CM＝．
故选：A．
8．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a﹣1＝2或a＝0，
∴a＝3或a＝0，
故选：D．
9．解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4×t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）2+18，
∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
10．解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，
∴y＝（8﹣x）x，即y＝﹣x2+8x，
∴当x＝﹣＝﹣＝4时，y取得最大值．
故答案为：4．
11．解：设PD＝x，S△PEF＝y，S△AQD＝z，梯形ABCD的高为h，
∵AD＝3，BC＝4，梯形ABCD面积为7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF＝∠QFE，∠EPF＝∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD＝∠EQF，
∴∠EPF＝∠EQF，
∵EF＝FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴＝，＝（）2，
∵S△AQD＝3，∴S△DPF＝x2，
S△APE＝（3﹣x）2，
∴S△PEF＝（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×＝﹣x2+x，
∵y最大值＝＝，即y最大值＝．
∴△PEF面积最大值是．
12．解：∵a+b2＝1，
∴a＝1﹣b2
∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2+）2+2﹣＝2（b2+）2+，
∵b2≥0，
∴2（b2+）2+＞0，
∴当b2＝0，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b2＝1，
∴b2＝1﹣a，
∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a﹣）2+，
∵b2≥0，
∴1﹣a≥0，
∴a≤1，
∴当a＝1，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
13．解：设DE＝x．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴，BE＝，则AE＝4﹣．
则矩形AEDF的面积是x（4﹣）＝﹣+4x，根据二次函数求最值的方法，知矩形面积的最大值是＝3．
故答案为：3．
14．解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，
于是当x＝1时，函数y＝（x﹣1）2+1的最小值y等于1．
15．解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+k的最大值为3，
∴＝3，
∴k＝﹣1．
16．解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，
∴此函数的顶点坐标是（3，﹣1），
即当x＝3时，函数有最大值﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN＝y，PC＝x，
根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，
即y2＝52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，
∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．
18．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上，
当m≤﹣1时，
此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，
∴﹣2＝1+2m+1，
∴m＝﹣2；
当﹣1＜m＜2时，
∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，
∴﹣2＝m2﹣2m2+1，
∴m＝±，
∴m＝；
当m≥2时，
此时x＝2时，y的最小值为﹣2，
∴﹣2＝4﹣4m+1，
∴m＝不符合题意，
故答案为：﹣2或．
19．解：∵原式可化为y＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为：﹣6
20．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故答案为：﹣1.5或
21．解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝都不满足﹣1≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
②m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝﹣或2时，二次函数有最大值4．
故答案为：2或．
22．解：线段AB的解析式是y＝x+1（0≤x≤4），
此时w＝x（x+1）＝+x，
则x＝4时，w最大＝8；
线段AC的解析式是y＝x+1（0≤x≤2），
此时w＝x（x+1）＝+x，
此时x＝2时，w最大＝12；
线段BC的解析式是y＝﹣2x+10（2≤x≤4），
此时w＝x（﹣2x+10）＝﹣2x2+10x，
此时x＝时，w最大＝12.5．
综上所述，当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．
23．解：∵a*b＝a+2b，∴y＝x2*（2x）+2*4＝x2+2×2x+2+2×4＝x2+4x+10＝x2+4x+4+6＝（x+2）2+6，
当﹣3≤x≤3时，
最大值为ymax＝（3+2）2+6＝31，
最小值为ymin＝（﹣2+2）2+6＝6，
因此ymax+ymin＝31+6＝37．
故答案为：37．
24．解：显然乙正确，因为x和一定同号，不可能出现x＝﹣的情况．
根据图象进行分析，或者根据解析式也可分析出y一定是正数．
25．解：∵在二次函数y＝ax2+bx+c中
当x＝0时，y＝﹣4，则c＝﹣4
∵b2＝ac＞0，c＝﹣4＜0，
∴a＜0，y有最大值
且该值为＝＝c （1）
把c＝﹣4代入（1）得：＝＝c＝×（﹣4）＝﹣3．
26．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
27．解：（1）当a＝3时，方程组为，
②×2得，4x﹣2y＝2③，
①+③得，5x＝5，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+2y＝3，
解得y＝1，
所以，方程组的解是；
（2）方程组的两个方程相加得，3x+y＝a+1，
所以，S＝a（3x+y）＝a（a+1）＝（a+）2﹣，
所以，当a＝﹣时，S有最小值﹣．
28．解：（1）∵AD＝5，AB＝x，BE垂直平分CD，
∴BC＝BD＝5﹣x，在△ABC中，AC＝1，
∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x），
解得：2＜x＜3；
（2）∵△ABC为直角三角形，
若AB是斜边，则AB2＝AC2+BC2，
即x2＝（5﹣x）2+1，
∴x＝2.6；
若BC是斜边，则BC2＝AB2+AC2，
即（5﹣x）2＝x2+1，
∴x＝2.4．
故答案为：2.4或2.6．
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
设CF＝h，AF＝m，则W＝（xh）2＝x2h2，
①如图，当2.4＜x＜3时，AC2﹣AF2＝BC2﹣BF2，则1﹣m2＝（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，
得：m＝，
∴h2＝1﹣m2＝，
∴W＝x2h2＝﹣6x2+30x﹣36，
即W＝﹣6（x﹣）2+，
当x＝2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②当2＜x≤2.4时，同理可得：W＝﹣6x2+30x﹣36＝﹣6（x﹣）2+，
当x＝2.4时，W取最大值1.44＜1.5，
综合①②得，W的最大值为1.5．
29．解：（1）易得EH和EF所在的三角形全等，那么EF＝EH，进而求得其它四条边相等，那么EFGH为菱形
由全等得∠AEH＝∠EFB
∵∠EFB+∠BEF＝90°
∴∠AEH+∠BEF＝90°
∴∠HEF＝90°
∴EFGH是正方形；
故选D．
（2）由图可知，当E、F、G、H为四边形ABCD各边中点时，
四边形EFGH面积最小，可得面积变化经过了“由大变小，再由小变大”的过程，
于是可得四边形EFGH的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是抛物线．
故选B．
（3）设AE＝xcm，∴S＝EH2＝AE2+AH2＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36＝2（x﹣3）2+18，
可知当x＝3时，S最小值＝18．
30．解：（1）S梯形OPFE＝（OP+EF）•OE＝（25+27）×1＝26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y＝（28﹣3t+28﹣t）t＝﹣2t2+28t＝﹣2（t﹣7）2+98，
所以当t＝7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；
（2）当S梯形OPFE＝S△APF时，
﹣2t2+28t＝，解得t1＝8，t2＝0（舍去）．
当t＝8秒时，FP＝8；
（3）由，
且∠OAB＝∠OAB，
可证得△AF1P1∽△AF2P2．
31．（1）证明：∵E、F为AC、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线．
EF∥AB，∠CEF＝∠CFE即∠DEC＝∠GFC，弧AD＝弧BG，∠DCA＝∠BCG，
又△ABC为等边三角形，AC＝BC则CE＝CF，
∴△CED≌△CFG．
（2）解：将代入消去p得：
＝0，
△＝1﹣4×2×[]，
∵△ABC边长为4，EB＝b＝，
△＝1﹣8×[]，
∴令△≥0，则解得a不符合题意．
∴不存在M点．
32．解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：
设y1＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y1＝20x+540，
利用图象得出函数关系是一次函数关系：
设y2＝ax+c，
∴，
解得：，
∴y2＝10x+630．
（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1（1000﹣50﹣30﹣y1），
＝（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）＝﹣2x2+16x+418，
＝﹣2（ x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）
∵﹣2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450（万元）；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2（1000﹣50﹣30﹣y2）
＝（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣630），
＝（ x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），
∵10≤x≤12时，∴当x＝10时，w最大＝361（万元），
∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
33．解：（1）①S△COD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BOC
＝
＝＝40﹣4﹣16＝20．
（或先证明△COD是直角三角形进而求其面积．）
②过D作DE⊥BC，E是垂足，从而四边形ABED是矩形．
BE＝AD＝2，CE＝6，DE＝AB＝8．
在Rt△CDE中，CD＝10．过O作OF⊥CD于F，
由S△COD＝＝20，可得OF＝4，
表明点O到CD的距离等于⊙O的半径，故直线CD与⊙O相切；
（2）在四边形ABCD中，
∵AD＝x＞0，设BC＝y，则CD＝x+y，CE＝|y﹣x|，
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得
（y﹣x）2+64＝（x+y）2，于是，x＞0．
进而，x＞0．
∵x＞0，，
∴当，x＝4时，有最小值8，从而S有最小值32．
34．解：（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA＝OB＝8，
∴OC＝AC＝OD＝4．
∵∠AOB＝90°，
∴．
在 Rt△ACF中，
∵∠A＝45°，
∴．
∴．
（2）设CD＝x，CF＝y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵，
∴．
∴．
∵∠FCH+∠OCD＝90°，
∴∠FCH＝∠CDO．
∴．
∴．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴．
∴AO＝AH+HC+CO．
∴．
∴．
易知，
∴当x＝5时，矩形CDEF面积的最大值为．
35．解：（1）四边形OABC是等腰梯形，则C（1，2），点M运动到A点时，N运动到C点，ON＝OC＝；
若四边形BCNM为梯形，则NC＝BM，t﹣2＝﹣2（t﹣2），解得：t＝．
（2）①由于点M以每秒2个单位长的速度向终点B运动，点N以每秒1个单位长的速度向终点O运动，
则点Q横坐标为3﹣t，纵坐标由求得：纵坐标为（t+1），
s＝×MA×PQ＝×（4﹣2t）×（t+1）＝﹣t2+t+．
②当t＝时，最大值是．
③是，t＝，PM＝3﹣t﹣2t＝，PA＝4﹣（3﹣t）＝，
则PM＝PA，故△AMQ为等腰三角形．
36．解：（1）DE⊥AB，如图
延长DE交AB于点G，
在△AGE与△DCE中，
∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEC，
∴∠AGE＝∠ECD＝90°，
∴DE⊥AB．
（2）作图如图，当点E恰好落在边AB上，
Rt△D′HF∽Rt△FHB，
∴＝，
解得HB＝1，
∴DD′＝1，
（3）当平移过程中的平移距离为0＜x≤1时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形MCC′E′，
∴四边形MCC′E′面积为：×CC′×（MC+C′E′）＝x（2﹣+2）＝﹣x2+2x；（0＜x≤1），
当1＜x＜2时，△DCE与△ACB的公共部分不是四边形，
当2≤x＜4时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形NCBM，
∵CC'＝x，所以D'C＝4﹣x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴，
，
∴CN＝2﹣，
∴AN＝4﹣（2﹣）＝2+，
∵△ANM∽△ABC，
∴，
∴分别求出AM＝，
NM＝，
∴四边形NCBM面积为：
S△ABC﹣S△ANM＝×2×4﹣××，
＝﹣x2﹣x+，（2≤x＜4）．
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