2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《几何图形的性质》专题训练含答案

2021年九年级数学中考一轮复习《几何图形的性质》专题突破训练（附答案）

1．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上.若AB=1，AD=2，则三角形BCE的面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（  ）

A．5 B．2 C．2 D．4

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（   ）

A.     B. 6    C.     D. 4

4．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（       ）

A．             B．           C．        D．

5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H．若BC = 6，AH = 4，则⊙O的半径为 （    ）

A．5              B．2           C．          D．5．5

6．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为

A．4           B．6              C．             D．

7．如图，⊙A与x轴交于B（2，0）、（4，0）两点，OA=3，点P是y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是                 ．

8．如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，点C是上一点，且BC=2，则AC=_________．

9．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，点，分别为，的中点，连接，则长度的最大值为__________．

10．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是_________．

11．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.

12．如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=10，BO=8，则AO的长为     ．

13．如图，在梯形中，，，，，为上一动点，则周长的最小值为           ．

14．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是      ．

15．如图正三角形边长为2，分别是上的点，且，设的面积为，的长为，则的最小值为_____________。

16．已知：如图，圆锥中，∠OAB=30°，母线AB=8，则圆锥的侧面展开图中扇形角为       .

17．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”． 在图2中，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，∠D =  _________

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=______秒时，S1=2S2．

19．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值_____________

20．（2分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=     度．

21．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．

22．如图，已知Rt△ABC中，ACB=90，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，且对角线交于点O，连接OC．已知AC=3，OC=，则另一条直角边BC的长为          ．

23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°．

（1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF；

（2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论；

（3）点E在BC的延长线上时，其他条件都不变时，上述（2）的结论还能成立吗？如果不能成立，请说明理由；如果能成立，请证明结论．

24．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF、CF与OA交于点G．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）求证：OD•EG=OG•EF；

（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半径．

25．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；

（2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数                                             

（ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）

26．如图△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．

（1）求证：BM平分∠ABC；

（2）当BC=4，cosC=时，

①求⊙O的半径；

②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）

参考答案

1．解：由题意得：△BCD的面积占矩形BDFE的一半，

∴S△BCD=1，

∴S△BCE+S△CDF=1，

又∵CD：BC=AB：AD=1：2，

∴S△BCE：S△CDF=4：1，

故可得S△BCE=   故选D．

2．解：设BE=x，则EC=6﹣x，由△EBF∽△DCE，得，列出方程求出x，即可解决问题．

设BE=x，则EC=6﹣x，       ∵EF⊥ED，      ∴∠FED=90°，     ∴∠FEB+∠DEC=90°，

∵∠DEC+∠EDC=90°，      ∴∠FEB=∠EDC，   ∵∠B=∠C=90°，     ∴△EBF∽△DCE，

∴，     ∴，解得x=2或4（舍弃），       当x=2时，EF=2，DE=4，DF=，       ∴AM=ME=，       ∵AM⊥ME，        ∴∠AME=90°，

∴AE=，

3．A

解：当B′在ED上时B′D最小，此时，AE=EB=EB′=2，AD=6，ED=，B′D=ED－EB′=．故选A．

4．解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=，由垂径定理可知EF=2EH=，故选B．

5．解： 连接CO并延长交⊙O 于点M，连接MB、MA，做OF⊥BC于F，

∵CM为直径，∴∠MBC=∠MAC=90°，又∵∠ADC=∠BEC=90° ∴∠MBC=∠ADC，∠MAC=∠BEC，

∴MB∥AD，MA∥BE，∴四边形MBHA为平行四边形，∴MB=AH=4，又∵OF⊥BC，OF过O，

∴根据垂经定理：CF=FB=BC=3； 又∵CO=OM，∴根据中位线可得： OF=MB=2，∴在Rt△COF中，OC2=OF2+CF2=22+32=13，∴OC=，故选C．

6．C解：连接OD，

∵DF为圆O的切线，

∴OD⊥DF，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，

∵OD=OC，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，

∴OD∥AB，

又O为BC的中点，

∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB，

在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，

∴AD=4，即AC=8，

∴FB=AB-AF=8-2=6，

在Rt△BFG中，∠BFG=30°，

∴BG=3，

则根据勾股定理得：FG=3．故选C.

7．解：连接AP，如图所示：

∵B（2，0）、C（4，0），

∴OB=2，OC=4，

∴BC=OC-OB=4-2=2，即圆A的直径为2，

∴AD=1，OA=OB+AB=2+1=3，

又∵DP为圆A的切线，

∴AD⊥DP，

∴∠ADP=90°，

设P（0，y），

在Rt△AOP中，OA=3，OP=|y|，

根据勾股定理得：AP2=OA2+OP2=9+y2，

在Rt△APD中，AD=1，

根据勾股定理得：PD2=AP2-AD2=9+y2-1=y2+8，

则PD=，

则当y=0时，PD达到最小值，最小值为=2．

故答案为：2

8．解：如图所示：连接AB

∵∠AOB=90°，
∴AB是圆的直径．
∵A的坐标是（3，0），B的坐标是（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB= ＝

∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴AC= .

故答案是： .

9．解：连接，

∵点、分别为、中点，

∴，

∴最大时，最大，

∵与重合时最大，

，

∴的最大值是．

10．30

解：如图，

设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，

所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，由图形得，x+3=2x，解得x=3，

所以这个六边形的周长=2x+2（x+1）+2（x+2）+x+3=7x+9=7×3+9=30．

11解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，连接P′Q′，即为折线P−N−M−Q长度的最小值。

根据轴对称的定义可知：∠NOP′=∠AOB=30°，∠OPP′=60°，

∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，

∴∠P′OQ′=90°，

∴在Rt△P′OQ′中，

P′Q′==5.

故答案为：5.

12．解：∵BE⊥AD，BD=10，BO=8，

∴OD=，

∵AC、BC上的中线交于点O，

∴AO=2OD=12．

13．解：作D点关于BC的对称点E，连接D、E交BC于F，连接ME；根据对称的性质DF=EF，在梯形中，DF⊥BC，DF⊥AD，在直角三角形CDF中，，=2，DE=2DF=4，AE=；周长=AD+AM+DM=AD+AE=8

14．解：∵母线为4，设圆锥的底面半径为x，

∴圆锥的侧面积=π×4×x=12π．

解得：x=3．

故答案为：3．

15．解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE=CF=AG=2-x；

故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE=x，AG=2-x．

则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2-x）；

故y=S△ABC-3S△AEG=-3×x（2-x）=（3x2-6x+4）=．当x=1

时，y取得最小值为。

 16．解：在Rt△AOB中，OB=AB•sin30°=4，
设扇形角为n，依题意，得

=2×4π，
解得n=180°．
故答案为：180°．

17．解：∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∠DAO=50°，∠OCB=40°，

∴∠DAP=∠PAB=25°，∠DCP=∠PCB=20°，在△DAM和△PCM中，根据三角形的内角和定理可得∠DAM+∠D=∠DCP+∠P，即可求得∠D=30°.

18．解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，

∴AD=BD=CD=8 cm，

又∵AP=t，

则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8-t，

∵PE∥BC，

∴△APE∽△ADC，

∴，

∴PE=AP=t，

∴S2=PD•PE=（8-t）•t，

∵S1=2S2，

∴8t=2（8-t）•t，

解得：t=6．

19．解：根据题意，

（1）当CD//OB时，如图所示：∠BAD＝15°；

（2）当AD//OB时，如 图所示：∠BAD＝45°；

（3）当CD//OA时，如图所示：∠BAD＝105°；

（4）当AC//OB时，如图所示：∠BAD＝135°；

（5）当AB//CD时，如图所示：∠BAD＝150°；

（6）当CD//OB时，如图所示：∠BAD＝165°；

（7）当CD//OA时，如图所示：∠BAD＝75°；

（8）当CD//AB时，如图所示：∠BAD＝30°；

故答案是：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°。

20．解：：由∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，

因此可得∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∠5+∠6=180°﹣88°=92°，

再由∠5=180°﹣∠2﹣108°       ①，

∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，

所以可由①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．

21．解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．

当GH为直径时，E点与O点重合，

∴AC也是直径，AC=14．

∵∠ABC是直径上的圆周角，

∴∠ABC=90°，

∵∠C=30°，

∴AB=AC=7．

∵点E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF=AB=3.5，

∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．

22．5

解：根据正方形的性质以及直角三角形的勾股定理可得BC=4，则AB=5．

23．解：(1)∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，

在△ABD与△ACF中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF，

∴△ABD≌△ACF；

(2)∵△ABD≌△ACF，

∴∠ACF=∠B=45°，

又∵∠ACD=45°，

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=90°，

∴EF2=CE2+CF2，   

∵AE是△DAF的对称轴，

∴DE=EF，

∴DB=CF，

∴DE2=CE2+BD2 ；

(3)结论成立，

易证△ABD≌△ACF，

∴∠ACF=∠B=45°，

∴∠ECF=180°-∠BCF=90°，

∴EF2=CE2+CF2，

易证DB=CF,DE=EF，

∴DE2=CE2+BD2  .

24．（1）证明：∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切线．

（2）证明：∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴=，∵OD=OC，

∴OD•EG=OG•EF．

（3）解：设OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

∴（r+2）2=r2+42，

∴r=3，

∴⊙O的半径为3．

25．解：(1）∠APN = 60°.

因为∠APN=∠ABP+∠BAP

有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC

所以∠APN=∠BAP+∠MAC

即∠APN=∠BAC=60°

(2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°．

(3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n°

26．（1）证明：连OM，如图,

∵⊙O与AE相切于M，

∴OM⊥AE，

∵AE⊥BC，

∴OM∥BC，

∴∠OMB=∠MBC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠OBM=∠MBE，

∴BM平分∠ABC；

（2）解：①设⊙O的半径为R，

∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，

∴BE=CE=2，

在Rt△ACE中，cos∠C=，

∴∠C=60°

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC=4，

∴∠OAM=30°，

∴AO=2R，

而AB=OA+BO，

∴2R+R=4，

∴R=，

即⊙O的半径为；

②过O作OH⊥BM，H为垂足，如图，

∵OH⊥BM，

∴BH=MH，

∵OM∥BE，

∴∠AOM=60°，

∴∠ABH=30°，

∴OH=OB=，BH=OH=，

∴BM=，

∴S△OBM=OH•BM=，

∴S扇形FOM=

∴S阴=．