2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《图形的翻转折叠》专题训练含答案

这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《图形的翻转折叠》专题训练含答案，共34页。试卷主要包含了如图，在△ABC中等内容，欢迎下载使用。

2021年九年级数学中考一轮复习《图形的翻转折叠》专题突破训练
1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2
2．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
4．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）

A．2 B． C． D．1
5．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF＝．在以上4个结论中，正确的有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（　　）

A．115° B．120° C．130° D．140°
7．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①④
8．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A． B． C．4 D．5
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为（　　）

A． B． C． D．

13．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为　 　．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　 　．

15．如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　 　．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP的长为　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　 　．

19．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为　 　．

20．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝　 　．

21．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　．

22．如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为　 　．

23．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于　 　．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为　 　．

25．阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？　 　（填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　 　．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

26．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．





27．如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．
（1）求证：EG＝CH；
（2）已知AF＝，求AD和AB的长．




28．如图，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG＝4，GF＝6，BM＝3，求AG、MN的长．





29．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．

30．如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

31．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

2021年九年级数学中考一轮复习《图形的翻转折叠》专题突破训练答案
1．解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE＝EG，AB＝BG，
∴ED＝EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF＝FG，
设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得x＝4．
故选：B．

2．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．

3．解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
故选：D．

4．解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB＝AB＝2，BM＝1，
则在Rt△BMF中，
FM＝，
故选：B．
5．解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；
BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GBE＝×6×8＝24，S△BEF＝•S△GBE＝＝，④正确．
故选：C．

6．解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，
∵∠2＝40°，
∴∠CFB'＝50°，
∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'＝180°，
即∠1+∠1﹣50°＝180°，
解得：∠1＝115°，
故选：A．
7．解：∵AE＝AB，
∴BE＝2AE，
由翻折的性质得，PE＝BE，
∴∠APE＝30°，
∴∠AEP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BEF＝（180°﹣∠AEP）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠EFB＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝2BE，故①正确；
∵BE＝PE，
∴EF＝2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ＝∠EFB＝30°，
∴BE＝2EQ，EF＝2BE，
∴FQ＝3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB＝∠EFP＝30°，
∴∠BFP＝30°+30°＝60°，
∵∠PBF＝90°﹣∠EBQ＝90°﹣30°＝60°，
∴∠PBF＝∠PFB＝60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．

8．解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△BDN中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4．
故线段BN的长为4．
故选：C．
9．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故选：C．
10．解：∵A1D∥BC，
∴∠B＝∠A1DB，
由折叠可得，∠A1＝∠A，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A1+∠A1DB＝90°，
∴AB⊥CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，，
∴AB＝＝3，
∵AB×CE＝BC×AC，
∴CE＝＝，
又∵A1C＝AC＝4，
∴A1E＝4﹣＝，
故选：B．

11．解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，∠BCE＝∠ACE，
∴EO⊥AC，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴∠CAB＝30°，
∴∠BCA＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE＝30°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
故选：A．
12．解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝4，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE＝OB，EF＝BP．
设EF＝x，则BP＝x，DF＝DE﹣EF＝4﹣x，
又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝3﹣x，
∴AF＝AB﹣BF＝1+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，即（1+x）2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴DF＝4﹣x＝，
∴cos∠ADF＝＝．
故选：C．

13．解：（i）当B′D＝B′C时，
过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，
当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8，
由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．
由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，
∴B′G＝＝＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
∴DB′＝＝＝4
（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．
（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，由翻折的性质，得EB＝EB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠，得EF也是线段BB′的垂直平分线，∴点F与点C重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．
综上所述，DB′的长为16或4．
故答案为：16或4．


14．解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
15．解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P

∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，
∴a2＝22+（4﹣a）2，
解得a＝，即DE＝，
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，
∴a2＝12+（3﹣a）2，
解得a＝，即DE＝．
故答案为：或．
16．解：①如图1，
当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM＝BC＝+；
②如图2，当∠MB′C＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM＝MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM＝B′M，
∴CM＝BM，
∵BC＝+1，
∴CM+BM＝BM+BM＝+1，
∴BM＝1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．

17．解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8；
故答案为：4.8．

18．解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）

∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴＝，
∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，
∴AF＝4，AB＝＝10，
∴＝，
∴FM＝3.2，
∵PF＝CF＝2，
∴PM＝1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．
故答案为1.2．
19．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝5，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝13，
S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，
∴12×5＝13AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝13，
∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，
故答案为：．

20．解：设AD＝x，则AB＝x+2，
∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，
∴四边形AEFD为正方形，
∴AE＝AD＝x，
∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，
∴DH＝DC＝x+2，
∵HE＝1，
当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，
在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，
∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，
整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），
即AD的长为3+2．
故答案为：3+2．

21．解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，
又∵△A′EP∽△D′PH，
∴A′P：D′H＝2，∵PA′＝x，
∴Dx，
∵•x•x＝1，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，
∴AD＝4+2++1＝5+3，
∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6．
故答案为10+6

22．解：作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D′点，折痕为MN，
∴DD′⊥MN，
∵∠A＝∠DEM＝90°，∠ADD′＝∠EDM，
∴△DAD′∽△DEM，
∴∠DD′A＝∠DME，
在△NFM和△DAD′中
，
∴△NFM≌△DAD′（AAS），
∴FM＝AD′＝2，
又∵在Rt△MNF中，FN＝6，
∴根据勾股定理得：MN＝＝＝2．
故答案为：2．

23．解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，
CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝8﹣5＝3，
在Rt△FNC中，FN＝＝4，
∴MF＝5﹣4＝1，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴∠CFN＝∠FPG，
又∵∠FGP＝∠CNF＝90°
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝1，
∴PF＝5m＝5，
∴PE＝PF+FE＝5+＝，
故答案为：．

24．解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴tanB＝＝＝，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F
∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，cosB＝，
∴BF＝cos30°＝，
∴EF＝﹣（4﹣x）＝x﹣，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即4﹣x＝2（x﹣），解得x＝3，此时AE为3；
若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（4﹣x），EH＝B′H＝（4﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，解得x＝，此时AE为．
综上所述，AE的长为3或．
故答案为3或．

25．解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B＝∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C＝∠C；
∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案是：是；
（2）∠B＝3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C＝180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B＝n∠C；
（3）由（2）知设∠A＝4°，
∵∠B是好角，
∴∠B＝4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C＝m∠B＝4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn＝180
∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

26．（1）证明：如图1，∵PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP＝QP，AB＝BQ．
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH＝QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH＝AP+PD+DH+HC＝AD+CD＝8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF＝∠ABP+∠BEF＝90°，
∴∠EFM＝∠ABP．
又∵∠A＝∠EMF＝90°，
∴△EFM≌△PBA（ASA）．
∴EM＝AP＝x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2＝BE2．
解得，．
∴．
又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴当x＝2时，S有最小值6．

27．（1）证明：由折叠可得：AE＝AD＝EG，BC＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴EG＝CH；
（2）解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，
∴DG＝，DF＝2，
∴AD＝AF+DF＝+2；
由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，
∴∠GEF+∠HEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BEC＝∠AFE，
在△AEF与△BCE中，
，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，
∴AB＝AE+BE＝+2+＝2+2．

28．（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠FAG，AD＝AG，
∵∠EAG+∠FAG＝∠EAF＝45°，
∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）MN2＝ND2+DH2，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM＝AH，BM＝DH，
∵由（1）∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADH＝∠ABD＝45°，
∴∠NDH＝90°，
∵，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN＝NH，
∴MN2＝ND2+DH2；

（3）设AG＝BC＝x，则EC＝x﹣4，CF＝x﹣6，
在Rt△ECF中，
∵CE2+CF2＝EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2＝100，x1＝12，x2＝﹣2（舍去）
∴AG＝12，
∵AG＝AB＝AD＝12，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝12，
∵BM＝3，
∴MD＝BD﹣BM＝12﹣3＝9，
设NH＝y，
在Rt△NHD中，
∵NH2＝ND2+DH2，即y2＝（9﹣y）2+（3）2，解得y＝5，即MN＝5．

29．（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D
∴在△GAB与△GC′D中，

∴△GAB≌△GC′D
∴AG＝C′G；

（2）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM＝4cm，
∵AD＝8cm，AB＝6cm，
在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴MN是△ABD的中位线，
∴DN＝BD＝5cm，
在Rt△MND中，
∴MN＝＝3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END＝∠NDC，
∴∠END＝∠NDE，
∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，
由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，
解得x＝，即EM＝cm．

30．（1）解：在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，
∴OA＝OB•cos30°＝8×＝4，
AB＝OB•sin30°＝8×＝4，
∴点B的坐标为（4，4）；

（2）证明：∵∠OAB＝90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵DB＝DO＝4
∴DB＝AB＝4
∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ADB＝∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）解：设OG的长为x，
∵OC＝OB＝8，
∴CG＝8﹣x，
由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x，
在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2，
即（8﹣x）2＝x2+（4）2，
解得：x＝1，
即OG＝1．
31．（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝