2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《问题解决拓展应用型综合压轴题》专题训练含答案

这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《问题解决拓展应用型综合压轴题》专题训练含答案，共38页。试卷主要包含了观察猜想，【新知理解】，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

2021春九年级数学中考复习《问题解决拓展应用型综合压轴题》专题突破训练（附答案）
1．（题文）（问题引领）
问题1：在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结CG，先证明
△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是________________．

（探究思考）
问题2：若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，
∠ECF= ∠BCD， 问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．

（拓展延伸）
问题3：在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．

2．（发现问题）爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
（解决问题）小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）求线段OC的最大值．
（灵活运用）
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
（迁移拓展）
（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．






3．（材料阅读）我们曾解决过课本中的这样一道题目：
如图，四边形是正方形，为边上一点，延长至，使，连接.……
提炼1：绕点顺时针旋转90°得到；
提炼2：；
提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式.

（问题解决）（1）如图，四边形是正方形，为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，交于点，连接.可得： °；三者间的数量关系是 .

（2）如图，四边形的面积为8，，，连接.求的长度.

（3）如图，在中，，，点在边上，.写出间的数量关系，并证明.

4．（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　 　
（2）（拓展研究）
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）（问题发现）
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．












5．（）【问题】如图，点为线段外一动点，且， ．当点位于__________时线段的长取得最大值，且最大值为__________（用含、的式子表示）．
（）【应用】点为线段除外一动点，且， ．如图所示，分别以、为边，
作等边三角形和等边三角形，连接、．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由．
②直接写出线段长的最大值．
（）【拓展】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段
外一动点，且， ， ．请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．



6．(1)观察猜想
如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；
(2)拓展探究
将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
(3)解决问题
若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．
　








7．【新知理解】
如图①，若点、在直线l同侧，在直线l上找一点，使的值最小.
作法:作点关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则点即为所求.
【解决问题】
如图②，是边长为6cm的等边三角形的中线，点、分别在、上，则的最小值为 cm;
【拓展研究】
如图③，在四边形的对角线上找一点，使.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)









8．综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．
（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：
从A，B两题中任选一题作答我选择　 　题
A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；
②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；
B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．




9．折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点落在矩形ABCD所在平面内，C和AD相交于点E，连接D．
解决问题
（1）在图1中，①D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）在图2中，若∠B=30o，AB=，当A⊥AD时，BC的长度为_____.







10．（1）观察猜想：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）探究证明：
在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．










11．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”
如图1，，其中，，此时，点与点重合，

操作探究1:（1）小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
操作探究2:（2）小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当__________时，．（直接回答即可）
操作探究3:（3）小颖将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当时，直接写出线段的长为_________．
②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长为____________．




参考答案
1．EF=BE+DF
解：问题1、BE+FD=EF，
理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，
在△CBE和△CDG中,
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵
∴
∵
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中,
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
故答案为：EF=DF+BE；
问题2,问题1中结论仍然成立,如图2,

理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，
∵
∴∠ABC=∠GDC,
在△CBE和△CDG中,
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCD=∠ECG，
∵
∴
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中,
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF，
∴EF=DF+DG=DF+BE；
问题3.结论：DF=EF+BE;理由：如图3,

延长FD到点G.使DG=BE.连结CG，
∵
∴∠ABC=∠GDC
在△CBE和△CDG中,
∴△CBE≌△CDG(SAS)，
∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∴∠BCD=∠ECG，
∵
∴
∴∠ECF=∠GCF，
在△CEF和△CGF中,
∴△CEF≌△CGF，
∴EF=GF，
∴DF=FG+DG=EF+BE；
2．（1）结论：OC＝AE，理由；（2）OC的最大值为3；（3）最大值为2+3；P（2﹣，）；（4）AC的最大值为2+2， 2﹣2．
解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
（3）如图1，连接BM，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，
∴AC的最大值为2+2．
当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2
3．解：（1）∵将沿折叠得到△GDE,根据折叠的性质可得DG=DA=DC，

∵,DF=DF,
∴Rt△DAF≌Rt△DGF，
∴AF=GF，，
∴=;
EF=FG+EG=AF+CE,即
故答案为：45°，；
（2）如图，延长到，使，连接.

∵
∴
又
∴
又BC=DE,
∴，
∴，.
∴.
∴为等腰直角三角形，
∵四边形的面积为8，∴的面积为8.
∴.
解得，.（-4舍去）
（3），理由如下：
如图：将绕点逆时针旋转90°得到，连接.

∴,
∵，∴
∴
又CE=CE,CD=CH
∴.
∴.
∵旋转角=90°，
∴.
∴.
又，
∴.
4．解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根据勾股定理得，BC=AB=2，
点D为BC的中点，∴AD=BC=，
∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，
∵BE=AB=2，∴BE=AF，
故答案为BE=AF；
（2）无变化；
如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，
由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．

5．（）延长线上， ；（）①；②（）；
:解：（）当三点不共线时，三角形两边之和大于第三边，即；
当在延长线上时， ；
当在线段上时， ．
故当在延长线上时， 取得最大值，且为．
（）①依题意得， ，利用等边三角形每个角都是和角的关系得，
最后根据边角边定理证明≌，
从而推出．
②因为，所以线段的最大值即的最大值．
根据三角形两边之和大于第三边，所以最大时即、、三点共线，
得到的最大值为，故的最大值为．
（）如图1，以点为圆心， 为半径作弧，交以点为圆心，
为半径作的弧于点，连接、、，则．
在和中，
，
所以≌，
所以，又因为，
所以，即．
由（）可知，当点在的延长线上时， 取得最大值，
又因为，所以此时取得最大值．
如图2，点在的延长线上时，过点作轴于点．
在中，由勾股定理得
，
所以．
因为， ，所以是等腰直角三角形，
又因为，所以，
又因为点，
所以，
所以点坐标为．

6．（1）BG＝AE．
（2）成立．如图②，
连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．
（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．
正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．
∴AF＝
解：（1）BG＝AE．
（2）成立．
如图②，连接AD．
∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．
∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．
∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．
（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]
因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．
若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．
在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．
∴AF＝．
即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．

7．（1）；（2）作图.
解：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，

当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=（cm），
∴PC+PE的最小值为3cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．

方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．

8．（1）结论：BD＝CE．理由；（2）A：①BC＝10．②结论：CD＝AD+BD．理由；B：①BC＝AB．②结论：CD＝AD+BD．理由．
解：（1）结论：BD＝CE．
理由：如图2中，

∵∠ABC＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝EC．
（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝AB•cos30°＝5，
∴BC＝10．
②结论：CD＝AD+BD．
理由：如图3中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
B：①如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝AB•cos30°＝AB，
∴BC＝2BH＝AB．
②结论：CD＝AD+BD．
9．解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为BD′∥AC，菱形；
（2）①选择②证明如下：
如图2，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，

设∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=4

∴BC=4，
当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=4

当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
当∠AB′D=90°时，如图6，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，


∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．
故答案为4或6或8或12；

10．解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
故答案为CE=BD，CE⊥BD．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．
（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=，
∴AM=CM=1，MD=1-x，
∴，
∴CF=-x2+x=-（x-）2+，
∴当x=时有最大值，CF最大值为．
11．解:（1）证明：如图2，

，，，
，
．
（2）①证明：如图3中，

，，

，
，
，
，
是等边三角形．
②解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
，
∴，
当时，．
故答案为．
（3）①解：如图4中，连接,

，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为．
②解：如图5中，连接，交于点．

，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
，，
垂直平分线段，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为