高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制示范课ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制示范课ppt课件，共40页。PPT课件主要包含了任意角和弧度制，角的概念，角的概念的推广，“象限角”，终边相同的角，又αRl所以，例6填写下表，所以α4等内容，欢迎下载使用。

初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º, 360º)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）． 角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º .于是就会出现720º ， － 540º等角度.
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135  、2000是第Ⅱ象限角等
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z) 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：① k∈Z；② 是任意角；③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
二、弧度制 在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
证明1：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
例4. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
例8. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
例9.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.