高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教案及反思

充分条件与必要条件

【教学目标】

1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

【教学重难点】

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【内容分析】

这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识。重点是充要条件。关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜。

【教学过程】：

一、复习引入：

1．什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？

若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2．指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x>1，q：x>2；

（3）p：x>0 ，y>0，q：x+y<0；（4）p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.

解：（1）∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件。

（3）∵x>0 ，y>0x+y<0，x+y<0x>0 ，y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件。

（4）∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件。

3．在问题（4）中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。下面我们用数学语言来表述这个概念。

二、讲解新课：

1．什么是充要条件？

如果既有pq，又有qp，就记作pq。此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。（当然此时也可以说q是p的充要条件）

例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件。

说明：（1）符号“”叫做等价符号。“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”。 “pq”有时也用“pq”；

（2）“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”。

2．几个相关的概念

若pq，但pq，则说p是q的充分而不必要条件；

若pq，但pq，则说p是q的必要而不充分条件；

若pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。

例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ，y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件。

3．充要条件的判断方法

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

（1）确定条件是什么，结论是什么；

（2）尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；

（3）确定条件是结论的什么条件。

4．怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？

答：有两种说法：（1）若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）。

在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合。

（2）若pq，说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）。

三、范例

指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？

（1）p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.

（2）p：同位角相等；q：两直线平行。 （3）p：x=3；q：x2=9．

（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。

解：（1）∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，

∴p是q的必要而不充分的条件；

（2）∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件；

（3）∵x=3x2=9， x=3x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件；

（4）∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，

∴p是q的既不充分也不必要的条件。