人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学设计

三角函数的图象与性质

——正弦函数、余弦函数的性质

【教学目标】

1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3．掌握正弦函数的周期及求法。

【教学重点】

正、余弦函数的性质。

【教学难点】

正、余弦函数性质的理解与应用。

【教学过程】

一、讲解新课：

（1）定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］，

分别记作：

（2）值域

，

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。

其中正弦函数，

（1）当且仅当，时，取得最大值1。

（2）当且仅当，时，取得最小值。

而余弦函数，

当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。

（3）周期性

由，()知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。

注意：

1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域无下界；

2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如）

3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的周期，最小正周期是

（4）奇偶性

由

可知：为奇函数

为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称

（5）单调性

从，的图象上可看出：

当时，曲线逐渐上升，的值由增大到1。

当时，曲线逐渐下降，的值由1减小到。

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增加到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到。

二、讲解范例：

例1：

求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么。

（1），；

（2），。

解：（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的的集合。

函数，的最大值是。

（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值的的集合是

由，

得

即使函数，取得最大值的x的集合是。

函数，的最大值是1。

例2求下列函数的定义域：

（1）    （2）

解：（1）由，得

即

∴原函数的定义域为

（2）由得

∴原函数的定义域为

例3求函数的单调区间

解：由的图象可知：

单调增区间为

单调减区间为

例4求下列三角函数的周期：1．  2．  3．

解：1．令而   即：

∴周期

2．令

∴

即：

∴周期

3．令则

∴周期

三、课堂练习：

1．求下列函数的周期：

（1）    （2）   （3）

解：（1）最小正周期

最小正周期

∴为，的最小公倍数∴

（2）

（3）∴

2． 直接写出下列函数的定义域、值域：

（1）（2）

解：（1）当时函数有意义，值域：

（2）()时有意义，值域

3．求下列函数的最值：

（1）（2）（3）y=

解：（1）当即 x= ()时

当即 ()时

（2）

∴当  时

当  时

（3）当  时

当  时

4．函数的最大值为2，最小值为，求，的值。

解：当时

当时（矛盾舍去）∴

5．求下列函数的定义域：

（1）（2）（3）

解：（1） ∵∴

∴定义域为：

（2）

∴定义域为：

（3）∵

∴

∵

∴，