2021中考数学三轮复习——相似形 限时作业

相似形

1． 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是

A．1     B．2    

C．3    D．4

2． 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有

A．3对    B．5对    

C．6对    D．8对

3． 若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为

A．2∶1    B．1∶2    

C．4∶1    D．1∶4

4． 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为

A．  B． 

C．  D．

5． 如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于

A．5 B．6
C．7 D．8

6． 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则

A．  B．  

C．  D．

7． 如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=

A．2∶3 B．3∶2
C．9∶4 D．4∶9

8． 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为__________m．

9． 如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．

10． 如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．

11． 如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．

12． 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．

13． 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为__________m．

14． 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．

15． △ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．

①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．

②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．

③在②的条件下求出点B经过的路径长．

16． 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）

③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）

（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，=．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．

17． 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？

如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

答案

1．  C

2．  C

3．  B

4．  C

5．  B

6．  C

7．  D

8．  54

9．  

10．  4

11．  或

12．  （2，1）或（-2，-1）

13．  54

14．  （1）∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，

∴，，，

即，

在与中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴．

（2）在与中，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴的面积．

15．  ①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．

②如图，△A2B2C为所作．

③OB=，

点B经过的路径长=．

16．  （1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．

③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．

（2）如图1中，连接BD，B1D1．

∵∠BCD=∠B1C1D1，且，

∴△BCD∽△B1C1D1，

∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，

∵，∴，

∵∠ABC=∠A1B1C1，

∴∠ABD=∠A1B1D1，

∴△ABD∽△A1B1D1，

∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，

∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，

∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．

∴，

∵EF=OE+OF，∴，

∵EF∥AB∥CD，

∴，∴，∴，

∵AD=DE+AE，

∴，

∴2AE=DE+AE，

∴AE=DE，∴=1．

17．   （1）如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

∴，即，

解得PN．

（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，

∴四边形PQMN为矩形，

∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，

∴NM'∥NM，

∴△BN'M'∽△BNM，

∴，同理可得，

∴.

∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，

∴四边形PQMN为正方形．

（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．

∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，

∴ER=RM=EM，

又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，

∴∠EQM=∠EMN.

又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，

∴△EQM≌△RMN（AAS），

∴EQ=RM，

∴EQ=EM，

∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，

∴∠BEQ=∠EMB，

又∵∠EBM=∠QBE，

∴△BEQ∽△BME，

∴．

设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，

∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，

∴BN=BE+NE=5x，

∴BN=NM=．