2021中考数学三轮复习——新定义与材料阅读 限时作业

新定义与材料阅读

1． 对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．

（1）求4⊗（–3）的值；

（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．

2． 阅读材料：设=（x1，y1），=（x2，y2），如果∥，则x1•y2=x2•y1，根据该材料填空，已知=（4，3），=（8，m），且∥，则m=__________．

3． 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=__________．

4． 我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a>0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=﹣1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是__________．

5． 阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：

设S=1+2+22+…+22017+22018①，

则2S=2+22+…+22018+22019②，

②–①得2S–S=S=22019–1，

∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）1+2+22+…+29=__________；

（2）3+32+…+310=__________；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．

6． 阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）=logaM+logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），理由如下：

设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，

∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）

又∵m+n=logaM+logaN

∴loga（M•N）=logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34=81转化为对数式；

（2）求证：loga=logaM﹣logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0）

（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62=．

7． 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

8． 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）

③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）

（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．

答案

1．  （1）5；（2）.

2．  6

3．  ﹣3或4

4．  ①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；

②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；

③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；

④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=﹣1或x=3，因此④也是正确的；

⑤从图象上看，当x<﹣1或x>3，函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4，因此⑤时不正确的；

故答案是：4．

5．  （1）设S=1+2+22+…+29①，

则2S=2+22+…+210②，

②–①得2S–S=S=210–1，

∴S=1+2+22+…+29=210–1；

故答案为：210–1；

（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，

则3S=32+33+34+35+…+311②，

②–①得2S=311–1，

所以S=，

即3+32+33+34+…+310=；

故答案为：；

（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，

则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，

②–①得：（a–1）S=an+1–1，

a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；

a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，

即1+a+a2+a3+a4+…+an=.

6．  （1）4=log381（或log381=4），故答案为：4=log381；

（2）证明：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，

∴==am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，

又∵m﹣n=logaM﹣logaN，∴loga=logaM﹣logaN；

（3）log69+log68﹣log62=log6（9×8÷2）=log636=2．

故答案为：2．

7．  （1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：

∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）如图1，

∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．

8．  （1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．

③两个大小不同的正方形相似．是真命题．

故答案为假，假，真．

（2）如图1中，连接BD，B1D1．

∵∠BCD=∠B1C1D1，且=，

∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，

∵==，∴=，

∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，

∴=，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，

∴===，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，

∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2中，

∵四边形ABCD与四边形EFCD相似，∴=，

∵EF=OE+OF，∴=，

∵EF∥AB∥CD，∴=，，

∴+=+，∴=，

∵AD=DE+AE，∴=，

∴2AE=DE+AE，∴AE=DE，

∴=1．