人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质优质学案设计

等式性质与不等式性质

【学习目标】

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．

【学习重难点】

等式与不等式的性质。

【学习过程】

一、自主学习

知识点一：实数大小比较

1．文字叙述

如果a－b是正数，那么a>b；

如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．

2．符号表示

a－b>0⇔a>b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b<0⇔a<b．

比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．

知识点二：不等式的性质

（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．

（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．

（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．

教材解难：

教材P40思考

等式有下面的基本性质：

性质1：如果a＝b，那么b＝a；

性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝．

基础自测：

1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（    ）

A．T<40

B．T>40

C．T≤40

D．T≥40

解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．

答案：C

2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（    ）

A．M>N

B．M＝N

C．M<N

D．与x有关

解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N．

答案：A

3．已知x<a<0，则一定成立的不等式是（    ）

A．x2<a2<0

B．x2>ax>a2

C．x2<ax<0

D．x2>a2>ax

解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2．

答案：B

4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，

又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6．

答案：－1≤a－b≤6

二、素养提升

题型一：比较大小（教材P38例1）

例1：比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）的大小．

解析：因为（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）

＝（x2＋5x＋6）－（x2＋5x＋4）

＝2>0，

所以（x＋2）（x＋3）>（x＋1）（x＋4）．

通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．

教材反思

用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练1：若f（x）＝3x2－x＋1，g（x）＝2x2＋x－1，则f（x）与g（x）的大小关系是（    ）

A．f（x）<g（x）

B．f（x）＝g（x）

C．f（x）>g（x）

D．随x值变化而变化

解析：f（x）－g（x）＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x－1）

＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1>0，

所以f（x）>g（x）．故选C．

答案：C

→→→

题型二：不等式的性质[经典例题]

→

例2：对于实数a、b、c，有下列说法：

①若a>b，则ac<bc；

②若ac2>bc2，则a>b；

③若a<b<0，则a2>ab>b2；

④若c>a>b>0，则>；

⑤若a>b，>，则a>0，b<0．

其中正确的个数是（    ）

A．2

B．3

C．4

D．5

解析：对于①，令c＝0，则有ac＝bc．①错．

对于②，由ac2>bc2，知c≠0，

∴c2>0⇒a>b．②对．

对于③，由a<b<0，

两边同乘以a得a2>ab，

两边同乘以b得ab>b2，

∴a2>ab>b2．③对．

对于④，⇒0<c－a<c－b

⇒⇒>．④对．

对于⑤，⇒⇒a>0，b<0．⑤对．

故选C．

答案：C

方法归纳：

（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．

（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

跟踪训练2：（1）已知a<b，那么下列式子中，错误的是（    ）

A．4a<4b

B．－4a<－4b

C．a＋4<b＋4

D．a－4<b－4

（2）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（    ）

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b，则<

解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．

利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．

（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．

答案：（1）B；（2）C

题型三：利用不等式性质求范围

例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：

（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．

解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；

（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；

（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6　①，

由1≤b<2得－6<－3b≤－3　②，

由①②得，－10<2a－3b≤3．

运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．

方法归纳：

利用不等式性质求范围的一般思路

（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

（3）结合不等式的传递性进行求解．

跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，

（1）求xy的取值范围；

（2）求x－2y的取值范围．

解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．

（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．

（1）根据不等式的性质6可直接求解；

（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．

三、学业达标

（一）选择题

1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是（    ）

A．A≤B

B．A≥B

C．A<B或A>B

D．A>B

解析：因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2）＝2＋b2≥0，所以A≥B．

答案：B

2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（    ）

A．若a>b，c>b，则a>

cB．若a>－b，则c－a<c＋b

C．若a>b，c<d，则>

D．若a2>b2，则－a<－b

解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．

答案：B

3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（    ）

A．－2<α－β<0

B．－2<α－β<－1

C．－1<α－β<0

D．－1<α－β<1

解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1．

又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，

又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A．

答案：A

4．有四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3．若<<0，则不正确的不等式的个数是（    ）

A．0

B．1

C．2

D．3

解析：由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①不正确；a>b，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．

答案：C

（二）填空题

5．已知a，b均为实数，则（a＋3）（a－5）________（a＋2）（a－4）（填“>”“<”或“＝”）．

解析：因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7<0，所以（a＋3）（a－5）<（a＋2）（a－4）．

答案：<

6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．

解析：c－2a－（c－2b）＝2b－2a＝2（b－a）<0．

答案：c－2b

7．给定下列命题：

①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d．

其中错误的命题是________（填写相应序号）．

解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．

答案：①②③④⑤

（三）解答题

8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

解析：x3－1－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1

＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2

＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1）·，

因为x<1，所以x－1<0，

又因为2＋>0，

所以（x－1）<0，

所以x3－1<2x2－2x．

9．若bc－ad≥0，bd>0．求证：≤．

证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，

因为bd>0，所以≤，

所以＋1≤＋1，所以≤．

尖子生题库：

10．设f（x）＝ax2＋bx，1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围．

解析：方法一：设f（－2）＝mf（－1）＋nf（1）（m，n为待定系数），

则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，

于是得，解得

∴f（－2）＝3f（－1）＋f（1）．

又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4．

∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，

故f（－2）的取值范围是[5，10]．

方法二：由，得，

∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）．

又∵1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f（1）≤10，

故f（－2）的取值范围是[5，10]．