人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优秀学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优秀学案，共19页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

函数y＝Asin（ωx＋φ）

【学习目标】
结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
【学习重难点】
三角函数的平移伸缩变化．
【学习过程】
一、自主学习
知识点一：A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
1．φ对函数y＝sin（x＋φ）图象的影响

2．ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的影响

3．A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响

（1）A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
（2）ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
（3）φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
（4）由y＝sinx到y＝sin（x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．
知识点二：函数y＝Asin（ωx＋φ），A>0，ω>0的
有关性质1．定义域：R．
2．值域：[－A，A]．
3．周期性：T＝．
4．对称性：对称中心，对称轴是直线x＝＋（k∈Z）．
5．奇偶性：当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数．
6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．
　研究函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的基本策略
（1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．
（2）整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．
教材解难：
1．教材P231思考
筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t．

如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过ts后运动到点P（x，y）．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有
y＝rsin（ωt＋φ）①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
H＝rsin（ωt＋φ）＋h．②
2．教材P232思考
（1）能．（2）可以先按φ再按ω，最后按A的顺序研究．
基础自测：
1．利用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象时，所取的五点的横坐标为（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：令x＝0，，π，，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π．
答案：C
2．将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝sinx＋
B．y＝sinx－
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：y＝sinxy＝sin．
答案：C
3．函数f（x）＝sin图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x＝－
B．x＝
C．x＝
D．x＝π
解析：对于函数f（x）＝sin，
令x＋＝kπ＋，k∈Z，
求得x＝kπ＋，k∈Z，
可得它的图象的一条对称轴为x＝，故选B．
答案：B
4．将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到函数________的图象．
解析：将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得，函数y＝sin（3×3x）＝sin9x的图象．
答案：y＝sin9x
二、素养提升
题型一：作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象[教材P237例1]
例1：画出函数y＝2sin（3x－）的简图．
解析：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin的图象，如图1所示．

下面用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的图象．
令X＝3x－，则x＝，列表，描点画图（图2）
X
0

π

2π
x





y
0
2
0
－2
0

画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象一般有2个方法．
法一：先画y＝sinx，然后按φ，ω，A的顺序依次画出图象．
法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图．
方法归纳：
五点法作图
五点法作函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）图象的步骤．
（1）列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的（x，y）值．
（2）描点．
（3）连线得函数在一个周期内的图象．
（4）左右平移得到y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象．
跟踪训练1：已知函数y＝2sin．
试用“五点法”画出它的图象．
解析：令t＝＋，列表如下：
x
－




t
0

π

2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：

→→
题型二：三角函数的图象变换
例2：由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象．
解析：方法一：y＝sinx的图象

y＝2sinx的图象y＝－2sinx的图象y＝－2sin2x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
方法二：y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin的图象y＝－sin2x－的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．
方法归纳：
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．
跟踪训练2：由函数y＝cosx的图象如何得到函数y＝－2cos2x＋＋2的图象．
解析：y＝－2cos＋2
＝2cos＋2
＝2cos＋2．
方法一：y＝cosx
y＝cosx＋π
y＝cos
y＝2cos,
y＝2cos＋2．
方法二：y＝cosx
y＝cos2xy＝cos
y＝2cos2x＋π
向上平移2个单位,y＝2cos＋2．
方法一，先平移，后伸缩；
方法二，先伸缩，后平移．两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的，但得到的结果是一致的．
题型三：三角函数解析式
例3：如图所示，它是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，－π<φ<π）的图象，则该函数的解析式为________．

解析：解法一：（单调性法）由图象可知：
A＝2，T＝－＝3π＝，则ω＝．
∵点（π，0）在递减的那段图象上，
∴＋φ∈（k∈Z），
则由sin＝0，得＋φ＝（2k＋1）π（k∈Z）．
∵－π<φ<π，∴φ＝．
∴该函数的解析式为y＝2sin．
解法二：（最值点法）由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝，将最高点坐标代入y＝2sin，得2sin＝2，
∴＋φ＝2kπ＋（k∈Z），∴φ＝2kπ＋（k∈Z）．
又－π<φ<π，∴φ＝．
∴该函数的解析式为y＝2sin．
解法三：（起始点法）由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝，函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ．由图象求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝．∴该函数的解析式为y＝2sin．
解法四：（图象平移法）由图象知，将函数y＝2sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y＝2sin，即y＝2sin．
答案：y＝2sin
观察图象，求出A、ω、φ．解法一单调性法，解法二最值点法，解法三起始点法，解法四图象平移法．
方法归纳：
根据三角函数的图象求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点x0，令ωx0＋φ＝2kπ；下降零点x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根据φ的范围确定φ的值．特别注意，求φ值时最值点法优先．
跟踪训练3：函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式为（ ）

A．f（x）＝sin
B．f（x）＝sin
C．f（x）＝cos
D．f（x）＝cos
解析：由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1．将点代入函数f（x）解析式得sin＝1，又－<φ<，所以φ＝，因此函数f（x）＝sin．
答案：B
由图可知A＝1，由周期可求ω，代入最值点可求φ．
题型四：函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的综合应用
例4：函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则（ ）

A．f（x）的一个对称中心为
B．f（x）的图象关于直线x＝－π对称
C．f（x）在上是增函数
D．f（x）的周期为
解析：根据函数y＝Asin（ωx＋φ）A>0，ω>0，|φ|<的部分图象．
可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据五点法作图可得2×＋φ＝π，所以φ＝，
所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D；
当x＝时，函数y＝f（x）＝3sin＝0，故函数的图象关于点对称，故A正确．
当x＝－π时，f（x）＝，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x＝－π对称，故排除B；
在上，2x＋∈，y＝3sin2x＋不是增函数，故排除C．
答案：A
求出函数的解析式，分别利用函数的对称中心、对称轴、单调性，周期的公式判断．
方法归纳：
1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
（2）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
2．求三角函数值域的常用方法
（1）求解形如y＝asinx＋b（或y＝acosx＋b）的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性（－1≤sinx（或cosx）≤1）求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
（2）求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c（或y＝acos2x＋bcosx＋c），x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx（或cosx），将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sinx（或cosx）的有界性．
跟踪训练4：本例中，试求函数在上的值域．
解析：因为y＝3sin，
x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以函数的值域为．
由x的范围求出ωx＋φ的范围，最后求函数的值域．
易错警示：φ，ω，A对图象的影响．
例：将函数y＝sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的函数的解析式．
错解1：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解析式为y＝sin．
错解2：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin＝sin．
错解3：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数解析式为y＝sin＝sin＝sin．
错因分析：以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象，错解1在进行平移变换时，错误地把2x看成了变换对象；错解2在进行伸缩变换时，错误地把2（x－）看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误．
正解：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解析式为y＝sin．
点评：由y＝sinx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的图象时，若先由y＝sinx的图象变换为y＝sinωx的图象，再由y＝sinωx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）的图象，则左右平移个单位长度，很多人都直接左右平移|φ|个单位长度，从而导致错误．
三、学业达标
（一）选择题
1．将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（ ）
A．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
B．f（x）的最小正周期为
C．y＝f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在上单调递增
解析：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sinx，即f（x）＝sinx．
根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，所以A不对．
周期T＝2π，所以B不对．
对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z，所以C不对．
单调递增区间为，k∈Z，所以f（x）在上单调递增．
答案：D
2．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝f（x）的周期为π
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）的图象关于点对称
解析：函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）＝sin＝cosx的图象，f（x）＝cosx为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f（x）＝cosx的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f（x）＝cosx的图象关于点对称．故选D．
答案：D
3．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由题意得周期T＝2＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，∴f（x）＝sin（x＋φ），
∴f＝sin＝±1．
∵0<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝．
答案：A
4．把函数f（x）＝sin的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：y＝siny＝siny＝sin＝sin．
答案：A
（二）填空题
5．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到的图象的解析式为y＝sin，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为y＝sin＋2．
答案：y＝sin＋2
6．在函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2．
答案：2

7．如图所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2．
又点是五点法作图的最大值点，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z．故所求函数的解析式为y＝2sin．
答案：y＝2sin
（三）解答题
8．已知函数y＝sin＋1．
（1）用“五点法”画出函数的草图；
（2）函数图象可由y＝sinx的图象怎样变换得到？
解析：（1）列表．
2x＋
0

π

2π
x
－




y
1
2
1
0
1
描点连线如图所示．

将y＝sin＋1在上的图象向左（右）平移kπ（k∈Z）个单位，
即可得到y＝sin＋1的图象．
（2）y＝sinxy＝sin
y＝sin
y＝sin＋1．
9．

函数y＝Asin（ωx＋φ）
的图象的一段如图所示，试确定A，ω，φ的值．
解析：有两种方法．
法一：由图象可知振幅A＝3．
又周期T＝－＝π，∴ω＝＝＝2．
由于图象过点，
∴－×2＋φ＝kπ，φ＝＋kπ（k∈Z），
而|φ|<，∴φ＝．
法二：由图象知T＝π，A＝3，∴ω＝＝＝2，且图象过，可知图象由y＝sin2x的图象向左平移＋kπ个单位长度得到，
∴y＝3sin，
即y＝3sin．
又已知|φ|<，∴φ＝．
尖子生题库：
10．已知函数f（x）＝sin＋．
（1）求f（x）的振幅、最小正周期及单调增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解析：（1）函数f（x）的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），则x＝＋（k∈Z），
所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（k∈Z）．
（3）sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），
x＝－＋kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为，
此时x的取值集合是．