2021年中考数学专题复习检测卷10 圆-（含解析）

圆

一、选择题.

1.如图,AB是⊙O的弦,直径CD交AB于点E.若AE=EB=3,∠C=15°,则OE的长为(   )

A.     B.4     C.6     D.3

2.如图,AB,CD是⊙O的直径,.若∠AOE=32°,则∠COE的度数是(   )

A.32°   B.60°   C.68°   D.64°

3.如图,BC为半圆O的直径,A,D为半圆上的两点.若A为半圆弧的中点,则∠ADC=(    )

A.105°    B.120°    C.135°     D.150°

4.如图,AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D.若⊙O的半径为5,BC=8,则AB的长为(    )

A.8    B.10   C.4   D.4

5.如图,⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB,已知∠DOB=72°,则∠E等于(     )

A.36°   B.30°    C.18°    D.24°

6.在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在点(1,0)处,半径为2,则下面各点在⊙O上的是(    )

A.(2,0)     B.(0,2)    C.(0,)    D.(,0)

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,r为半径作⊙C,则下列说法正确的是(     )

A.当r=2时,直线AB与⊙C相交

B.当r=3时,直线AB与⊙C相离

C.当r=2.4时,直线AB与⊙C相切

D.当r=4时,直线AB与⊙C相切

8.如图,在平面直角坐标系rOy中,点A的坐标为(-3,0),经过A,O两点作半径为的⊙C,交y轴的负半轴于点B.过B点作⊙C的切线交x轴于点D,则D点的坐标为(    )

A.   B.    C.    D.

9.如图所示的是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成,点A为60°角与直尺的交点,点B为光盘与直尺唯一交点,若AB=3,则光盘的直径是(    )

A.6    B.3    C.6    D.3

10.数学与我们的日常生活息息相关,汽车雨刮器摆动的轨迹是以点O为圆心的扇形,如图所示,已知雨刮器摆动的角度为120°,雨刮器的总长为1,雨刮器上有橡胶的部分(即线段AC的长)为.则单个雨刮器在车窗上从AC转动到BD,扫过的面积是(    )

A.    B.    C.   D.

11.如图,一种电子游戏,电子屏幕上有一正六边形 ABCDEF,点P沿直线AB从右向左移动,当出现:点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时,就会发出警报,则直线AB上会发出警报的点P有(    )

A.9个   B.10个    C.11个    D.12个

12.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,-1),

B(-1,-1),C(-1,1),D(1,1).曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”,其中AA1,A1A2,

A2A3,A3A4…的圆心依次是B,C,D,A循环,则点A18的坐标是(    )

A.(-35,1)   B.(-37,1)   C.(39,-1)   D.(-37,-1)

二、填空题.

13.如图,AB是⊙O的弦,半径OA=5,sinA=,则弦AB的长为       .

14.如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(2,0),直线与⊙0交于B,C两点,则弦BC的长为         .

15.如图,⊙O上B,D两点位于弦AC的两侧,,若∠D=56°,则∠AOB=   .

16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田(即弓形)面积所用的公式:弧田面积=(弦矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高.在如图所示的弧田中,半径为5,“矢”为2,则弧田面积为        .

17. 如图,将一块含30°角的直角三角板ABC和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板的直角边BC与量角器的零刻度线所在直线重合,斜边与半圆相切于点D。若圆心O对应的刻度为2cm,量角器的边缘E对应的刻度为9.5cm,则线段BD的长度为       cm.

18.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”。将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥,则圆锥的侧面积为        。

19.如图所示,⊙O是以坐标原点O为圆心,4为半径的圆,点P的坐标为(,),弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的最小值=        。

20.如图,将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置,此时A,B,C三点在一条直线上.若AB=8cm,那么点A旋转到A1所经过的路线长为         .cm(结果保留)

三、解答题.

21.如图,A,B,C,D在⊙O上,若AC=BD,求证:BC=AD.

22.如图,⊙Ⅰ是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.

(1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE的度数为         ;

(2)若∠DFE=50°,求∠A的度数.

23.如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.

(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由.

(2) CD=15, BE=10, tanA=,求⊙O的直径.

24.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E为BC的中点,连接OD,DE,已知∠BAC=30°,AB=8.

(1)求劣弧BD的长;

(2)求阴影部分的面积.

25.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,P为⊙O上一动点(P,A分别在直线BC的两侧),连接PB,PC.

(1)求证:∠P=2∠ABC;

(2)若⊙O的半径为2,BC=3,求四边形ABPC面积的最大值。

26.问题呈现:阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.

证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.

∵M是的中点,∴MA=MC。

......

请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;

实践应用:

(1)如图3,已知△ABC内接于⊙O,BC>AB>AC,D是的中点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为        ;

(2)如图4,已知等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为⊙O上一点,连接DB,∠ACD=45°,AE⊥CD于点E,△BDC的周长为4+2,BC=2,请求出AC的长。

参考答案

1.D【解析】如图,连接OA.∵AE=EB,∴CD⊥AB,∴,

∴∠BOD=∠AOD=2∠ACD=30°,∴∠AOB=60°.

∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,

∵AE=3,∴OE=AE·tan60°=3.

2.D【解析】∵∴∠BOD=∠AOE=32°,

∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,

∴∠COE=∠AOC+∠AOE=64°.

3.C【解析】如图,连接AC,

∵BC为半圆的直径,∴∠BAC=90°.

又A为半圆弧的中点,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.

∵A,B,C,D四点共圆,∴∠ADC+∠B=180°,

∴∠ADC=180°-4°5=135°.

4.D【解析】如图,连接OB,

∵AD⊥BC,AD过点O,BC=8,

∴BD=CD=4,∠BDO=90°.

由勾股定理,得,

∴AD=OA+OD=5+3=8.

在Rt△ADB中,由勾股定理,得

5.D【解析】如图,连接CO,CE=OB=CO,得∠E=∠1,

由∠2是△EOC的外角,得∠2=∠E+∠1=2∠E.

由OC=OD,得∠D=∠2=2∠E.

由∠3是△ODE的外角,得∠3=∠E+∠D=∠E+2∠E=3∠E.

由∠3=72°,得3∠E=72°,解得∠E=24°.

6.C【解析】点(0,)到⊙O的圆心(1,0)的距离为

所以点(0,)在⊙O上.

7.C【解析】如图,过C作CD⊥AB于点D,

在Rt△ACB中,由勾股定理,得,

由三角形面积公式,得,

即C到AB的距离等于⊙C的半径长.

∴当r=2.4时,⊙C和AB的位置关系是相切.

8.A【解析】∵点A的坐标为(-3,0),⊙C的半径为,∴OA=3,AB=5,

∴

∵BD是⊙C的切线,∴BD⊥AB,∴∠ABD=90°,

∴∠OBD=∠OAB,∴△AOB∽△BOD,

9.A【解析】设三角板与光盘的切点为C,连接OA,OB.

由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°.

在Rt△ABO中,OB=AB·tan∠OAB=3,

∴光盘的直径为6.

10.A【解析】∵OA=1,AC=,∴OC=,

∴AC转动到BD扫过的面积

11.C【解析】DC延长线上,EF延长线上,A点,B点,还有AB中点,共5个,

BD=BP, FB= BP, EB= BP, AC= AP, DA=AP,EA=AP共6个.

综上所述,故直线AB上会发出警报的点P有5+6=11(个).

12.B【解析】从图中可以看出A1的坐标是(-1,-3),

A2的坐标是(-5,1),

A3的坐标是(1,7),

A4的坐标是(9,-1),

18÷4=4.....2,

∴点A18的坐标是A2的坐标循环后的点,

依次循环则A18的坐标在y轴上的坐标是1,

x轴上的坐标是可以用n=-(1+2n)(n为自然数)表示,

那么A18实际上是当n=18时的坐标,所以-(1+2×18)=-37.

∴A18的坐标是(-37,1).

13.8【解析】过点O作OC⊥AB,如图所示,

∴C为AB的中点,即AC=BC.

在Rt△AOC中,OA=5,sinA=,

∴OC= OA·sin A=5×=3.

根据勾股定理,得

14.【解析】设直线y=与两坐标轴分别交于点D,E,过点O作OM⊥BC

于点M,连接OB,如图.

由直线y=可知D点坐标为(0,),E点坐标为(-3,0).

在Rt△OMB中,OM=,OB=OA=2.

由垂径定理可知BC=2BM=×2=.

15.56°【解析】如图,连接OC.

∵∠D=∠AOC(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),

且(已知),

∴∠AOB=∠BOC(等弧所对的圆心角相等),

∴∠AOB=∠D=56°.

16.10【解析】如图所示,

OA=OD=5,CD=2,∴OC=3.

∵OC⊥AB,∴AC=BC==4,∴AB=8,

∴弧田面积=(弦×矢十矢2)=(8×2+22)=10.

17.【解析】如图,连接OD,

∵斜边与半圆相切于点D,

∴∠BDO=90°,

∵OD=OE=9.5-2=7.5(cm),∠B=30°,

∴BD=OD=cm.

18.12.5【解析】∵扇形是“等边扇形”,

∴扇形的弧长=5,

∴圆锥的侧面积=×5×5=12.5.

19.

【解析】由题意,得当OP⊥A'B'时,阴影部分的面积最小,连接OP,OA',OB′.

∵P(,),∴OP=2.

∵OA'=OB'=4,∴ PA'=PB'=2.

∴tan∠A'OP=tan∠B'OP=,

∴∠A'OP=∠B'OP=60°,∴∠A'OB′=120°,

∴

20.6π【解析】∵点A旋转到A1所经过的路线长是以点B为圆心,AB为半径,旋转角度是180°-45°=135°,∴根据弧长公式可得路线长为

21.【证明】∵AC=BD,∴,∴

22.【解析】(1)如图,连接ID,IE

∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠A=60°,

∵⊙I是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,

∴∠ⅠDA=∠IEA=90°,∴∠DIE=180°-60°=120°,

∴∠DFE=∠DIE=60°.

答案:60°.

(2)∵∠DFE=50°,∴∠DIE=100°,

∵AB,AC分别与⊙I相切于点D,E,∴∠ADI=∠AEI=90°,∠∴A=80°.

23.【解析】(1)BD是⊙O的切线.理由如下：

如图,连接OB.∵OB=OA,DE=DB,

∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD.

又∵CD⊥OA∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°.

∴∠OBA+∠ABD=90°.∴OB⊥BD,∴BD是⊙O的切线.

(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,

∵DE=DB。∴EG=BE=5.

∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED.

∴∠GDE=∠A,∴△ACE∽△DGE,

在Rt△EⅠG中,∵

∵CD=15,∴CE=2.∵△ACE∽△DGE.

∴⊙O的直径为2OA=4AC=.

24.【解析】(1)∵AB=8,∴OA=OB=OD=4.

∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=30°,∴∠AOD=120°,∴∠DOB=60°,

∴

(2)如图,过点O作OF⊥AD于点F,

∵OA=OD,OF⊥AD,∴AF=DF.

∵∠OAF=30°,∴OF=OA=2.

∴AF=DF=OF=2.∴AD=AF+DF=4.

25.【解析】(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠A+2∠ABC=180°.

∵四边形ABPC是圆内接四边形,

∴∠A+∠P=180°,∴∠P=2∠ABC.

(2)解:四边形ABPC的面积=S△ABC+S△PBC,

∵S△ABC的面积不变,

∴当S△PBC的面积最大时,四边形ABPC的面积最大,而BC不变,

∴P点到BC的距离最大时,S△PBC的面积最大,此时P点为优弧BC的中点,

而点A为弧BC的中点,∴此时AP为⊙O的直径,AP⊥BC,

∴四边形ABPC面积的最大值=×4×3=6.

26.【解析】问题呈现

证明:如图,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.

∵M是的中点,∴MA=MC

∴△MBA≌△MGC(SAS),∴MB=MG.

又∵MD⊥BC,∴BD=GD,∴DC=GC+GD=AB+BD.

实践应用

(1)依据阿基米德折弦定理,得BE=CE+AC.

答案:BE=CE+AC.

(2)∵AB=AC,∴A是的中点.

∵AE⊥CD,根据阿基米德折弦定理得,CE=BD+DE.

∵△BCD的周长为4+2,∴BD+CD+BC=4+2.

∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2.

∵BC=2,∴CE=2.

在Rt△ACE中,∠ACD=45°,

∴AE=CE=2,∴AC=4.