高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题13 选讲部分（解析版）

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高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)                          专题13　选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线交于点，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.【答案】（1），；（2）【解析】（1）曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的直角坐标方程为：，曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的直角坐标方程为：；（2）因为点的坐标为，的倾斜角为,所以的参数方程为：（为参数），将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：，整理得：，判别式，中点对应的参数为，所以线段中点到点距离为.2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值，分段求解；（2）原题等价于的值域包含的值域，，，所以.详解：（Ⅰ）由，①当时，，得，即；②当时，，得，即；③当时，，得，即；综上：不等式的解集是；（Ⅱ）对任意的，存在，使得成立，即的值域包含的值域，由知，，由，且等号能成立，所以，所以，即的取值范围为.3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】（1）联立方程 ， 解得，.所以当时，；当时，，所以交点的直角坐标分别为，，则对应的极坐标为，.由题得，直线的参数方程为（为参数）.（2）将的参数方程代入圆的方程中， 得，化简整理，得，且，设点，分别对应参数，，所以，又由，的几何意义可知，.4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知函数.（1）当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）当时，，作出的函数图象如下：从图中可知，不等式的解集为.（2）因为，所以，所以转化为，即得对恒成立，即或，也就是或对恒成立，所以或，故实数的取值范围为.5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为.由得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，， ，则，解得，即实数的取值范围为.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，，可得的解集为（2）当时，,因为， 所以.所以，所以.所以a的取值范围是[-3，-1]8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】（1）当时，直线的参数方程为.消去参数t得.由曲线C的极坐标方程为.得，将，及代入得，即（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，将代入中并整理得，设A，B两点对应的参数分别为，则所以因为，所以，所以所以的取值范围为.9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.曲线：，∴，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为 .当时，有最小值，所以的最小值为.10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设 ，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数的取值范围为.11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为    ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）即.作出函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.所以实数的取值范围是.13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.【答案】（1）,（2） 【解析】解：（Ⅰ）因为， ，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）如图，四点在直线上的排列顺序从下到上依次为， ， ， ，它们对应的参数分别为， ， ， .连接，则为正三角形，所以. ，将代入，得： ,即，故，所以.14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知为任意实数.（1）求证： ；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1） ，因为，所以.（2） .即.15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，消去参数得，∴圆心的坐标为．∵曲线上存在两点关于点成中心对称，∴，又，∴直线的斜率．（2）由 (为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，∴圆心的坐标为，半径为．又直线的极坐标方程可化为，故其直角坐标方程为，又，∴，解得．∴实数的值为．16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆 ，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离 ，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为    ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知， .（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）不等式即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为.当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2），即.作出函数的图像如图所示，当直线与函数的图像有三个公共点时，方程有三个解，所以.所以实数的取值范围是.21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】（1）因为 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而 .当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即， 直线的普通方程为. (2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得. 因为直线与曲线交于，两点。所以，解得.由根与系数的关系，得，. 因为点的直角坐标为，在直线上.所以， 解得，此时满足.且，故.24. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1) 解集为;(2) 实数的取值范围是.【解析】（1）由已知不等式，得. 考虑到，不等式又可化为或 解得或.所以不等式的解集为. （2）设，则.因为当且仅当时取等号，所以. 因为函数的值域为，所以有解，即.因为，所以，即.所以实数的取值范围是25. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】在极坐标系中，已知三点，，.（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。26. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】 (Ⅰ)原不等式可化为＋≤3，依题意，当x>2时，3x－3≤3，则x≤2，无解，当≤x≤2时，x＋1≤3，则x≤2，所以≤x≤2，当x<时，3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x<，综上所述：原不等式的解集为(Ⅱ)原不等式可化为≤3－，因为x∈，所以≤4－2x，即2x－4≤2a－x≤4－2x，故3x－4≤2a≤4－x对x∈恒成立，当1≤x≤2时，3x－4的最大值2,4－x的最小值为2，所以a的取值范围为