高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题07 圆锥曲线（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题07 圆锥曲线（第02期）（解析版），共53页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题07　圆锥曲线
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知：，，

则，
所以，
因为，即，
，即.
.
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．或2
【答案】C
【解析】由题意可知双曲线的渐近线为，
又 渐近线与轴所形成的锐角为，
，
双曲线离心率.
故选：C.
3. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得圆的圆心为，半径，
易知直线恒过点，直线恒过，且，
点的轨迹为，圆心为，半径为，
若点为弦的中点,位置关系如图：

.
连接，由易知.
，
.
故选：D.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），
∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，
∴2，可得|PN|＝2|PM|，
得|MN||PM|，
因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．
故选C．

5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知双曲线的左、右顶点分别为，，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知等腰中，，设，则，其中必为锐角．
∵外接圆的半径为，
∴，
∴，，
∴．
设点P的坐标为，则，
故点P的坐标为．
由点P在双曲线上得，整理得，
∴．选C．
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知抛物线（）的焦点在直线上，则点到的准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】在方程中，令，得，即，，则点到的准线的距离是.
故选：C.
7. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.
故选：C.
8. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知椭圆的焦距为2，则的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C．2 D．
【答案】B
【解析】根据题意得，，∴，∴长轴长为.
故选：B.
9. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知点在双曲线的右支上，过点作轴的平行线交双曲线的一条渐近线于点（且点在第一象限），若点、到原点的距离的平方差恰好等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．2或 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】设点的纵坐标为，一条渐近线方程为：，
则易求得，，
故，
即，整理得，
两边都除以，得，解得或（舍去）.
故选：B.
10. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点

为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形

又，可得：

本题正确选项：
11. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆，其焦点为和，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
所以设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，
且双曲线中
因为双曲线的离心率，所以，
又因双曲线中
所以，即，
所以双曲线的渐近线方程为
故选C项.
12. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A．（1，） B．（1，2）
C．（1，2] D．（1，]
【答案】D
【解析】设的内切圆的半径为，则，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，
所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，
故选D．
13. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设，，，
由得，即，
由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以,
则

又由，则，
可得，化简得，
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，
∵M在圆C3内，∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，
即，故选A．
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是 (　　)
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】设，C的横坐标为，则，
因为是抛物线的一条焦点弦，所以，
所以，故.
故选B
15. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点，则①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故选B．
16. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．
故选B．
17. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设,其中，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，故选C.

18. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】设双曲线方程为，
将点代入双曲线方程，
解得.
从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为，
即4x-3y=0，
所以焦点到一条渐近线的距离是，
故选B.
19. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为．过作圆，其中圆心的坐标为．当时，椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，

线段的垂直平分线为：，
线段的中点．
∵，
∴线段的垂直平分线的斜率．
∴线段的垂直平分线方程为：，
把代入上述方程可得：．
∵，
∴．
化为：，又，
解得．
∴．
故选：A．
20. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】设,其中，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，故选C.

21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接， 设，

则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
22. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【解析】设，的中点分别为，，

，，则，在分别以，为圆心的圆上，
∴直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，最大，
∴的最大值为，
故选：A．
23. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知抛物线的焦点为，过点（-2，0）且斜率为的直线与抛物线相交于、两点，且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，抛物线的准线为，
直线过定点，
如图，过、分别作于点．于点，

由，得，则为的中点，连接．
则，所以，
则点的横坐标为1，代入抛物线的方程，得点的坐标为，
把点的坐标代入直线，解得.
故选：D．
24. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,,则点到直线的距离( )
A．无最小值 B．无最大值
C．有最小值,最小值为1 D．有最大值,最大值为
【答案】D
【解析】设,,
可得,
以为切点的切线方程为:,即——①
同理可得,以为切点的切线方程为: ——②
设过直线上任一点为
代入①②得
所以直线的方程为,即,
又 ,即
过定点,
当时,到的距离的最大值为:.
当过点时,距离的最小值为
故选:D.
25. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，
∵是直线上任意一点，
则直线与直线的距离，
∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，
∴，即，又
故的取值范围为，
故选：B．
26. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：

由对称性可得：为的中点，且，
所以，
因为，所以，
故而由几何性质可得，即，
故渐近线方程为，
故选B.
27. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】不妨假设点在第一象限、点在第四象限，.则易知，，∴，在中，，，
∴.
故选C
28. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设则，得，
同理，，三式相加得，
故与前三式联立，得，，，
则.故所求重心的坐标为，故选C.
29. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，点的坐标为（其中满足）当最小时，恰好正三角形，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】点的坐标为（其中满足），
可得在抛物线的开口之内，
设在准线上的射影为，
由抛物线的定义可得,
当三点共线时，取得最小值，
即有，，
恰好正三角形，可得，
，
解得，
故选：C．

30. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知双曲线，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】

由题意可知：，
解得tan∠MAF=3，
可得： ，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e＞1，解得e=2．
故选：B．
31. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,
由题得，
所以，
故选：A
32. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线左支上一点，且（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的中点为，则，
由，得，即.
因为为的中位线，所以.
由，设，则，，
所以，，得的离心率为.

故选：D
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知F为抛物线的焦点，点A、B在抛物线上位于x轴的两侧，且＝12(其中O为坐标原点)，若的面积是，则的面积是______
【答案】
【解析】设，且.由抛物线得，而.由①，由于在抛物线上，故②，由①②解得，所以.
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为，延长交曲线于点，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】如图所示：

设双曲线的右焦点为，则的坐标为，
因为曲线与有一个共同的焦点，
所以，
因为O为的中点，M为的中点，
所以OM为的中位线，
所以，
因为，所以
又，
所以.设，
则由抛物线的定义可得，
过点作x轴的垂线，点到该垂线的距离为，
在中，由勾股定理即得，
即，
即，
解得.
故答案为：
3. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则___________.
【答案】16
【解析】，为的中点，且，
，则直线的倾斜角为，斜率为．
由抛物线，得，则直线的方程为．
联立，得．
则，
．
故答案为：16．

4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知，分别为椭圆的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为，若为的角平分线，则___________.
【答案】
【解析】由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，
∴3，
由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
A在y轴右侧时，|AF2|，
故答案为：．

5. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，
直线的斜率，
所以，直线的方程为，即.
当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：

设点，点在直线的下方，则，
点到直线的距离为，当时，取最大值，
此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.
故答案为：.
6. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】

如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得
双曲线的离心率为
7. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知双曲线:(,)的左,右焦点为,,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,线段与双曲线的交点为的中点,则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】 以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点,
解得: 故,
又 ,
,代入双曲线方程
可得:,化简可得
,又,
.
故答案为:.
8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】的准线方程为
点在准线上，则，
抛物线方程 ，焦点
对求导 ，设切点，则切线斜率
所以切线方程为 即
在切线上,代入切线方程得 或（舍去）
，故直线点斜式方程为 ,即
点 在直线上，点在圆上
由于圆心到直线的距离，所以的最小值是
故答案为：.
9. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与交于(其中在轴上方）两点，且满足,若的离心率为，直线的倾斜角为，则实数的值是_____．
【答案】
【解析】如图，设准线为，作，，
设,
由双曲线的第二定义可得，则，
在中，∵°，∴，
∴，∴，
.
故答案为：

10. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】在直角坐标系中，椭圆C的方程为，左、右焦点分别为，，设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点，且轴，M、N为椭圆C上不同于Q的两点，且，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】根据题意，作图如下：

椭圆C的方程为，可得.
故左焦点为，把代入椭圆方程可得：，
解得，取.
设直线，分别与x轴相交于点E，G，
设直线的方程为：，，.
联立，化为：.
.
化为：.
，，
由，得.
，
，
.
化为：.
.
整理得：
分解因式得：.
若，则不恒成立，
故，
解得.
则直线的斜率为.
故答案为：.
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.
(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】(Ⅰ)联立可得.
设点的坐标为，点的坐标为，则
，.
于是有.
因为的中点为，所以.因此的斜率为.
因为直线交直线于，所以.故的斜率为，
即得.因此与垂直，.
(Ⅱ)设
.
令，则.
由于，故.
因此(当时取到最大值，也即).
综上所述，的最大值为.
3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.

（1）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.
【答案】(1)证明见解析，定值1. (2)
【解析】（1），过的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设：，其中是斜率的倒数，设、，满足，即，且，因为是中点，所以，所以，，
所以，即点的横坐标为定值1.
（2）直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.设直线为，即，
联列方程得，
，所以；且，
∵点是中点，∴，
设到的距离，，
，令，
当且仅当，时取到，
所以，.
法二：因为点在抛物线上，不妨设，又是中点，则，代入抛物线方程得：，得：，∴为定值.
（2）∵直线的斜率，直线斜率，
∴直线的方程：，即，令代入椭圆方程整理得：
，设、，下同法一.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】设椭圆，过点的直线分别交于相异的两点，直线恒过点．
（1）证明：直线的斜率之和为；
（2）设直线分别与轴交于两点，点，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】（1）证明:设直线为,
联立,得,
且,可得;,
设,
由韦达定理可得,,
设直线、的斜率分别为,
所以,
所以直线的斜率之和为
（2）设,
因为直线为,令,得,即,
同理,即,
因为,
所以

5. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知椭圆（）的离心率为，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，点与原点关于直线对称，试求四边形的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，即，
又该直线与圆相切，，又离心率，，
，，
椭圆的方程为.
（2）由点与原点关于直线对称，得.
当直线的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意.
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线，设，，
将代入，得，
当，即时，，，
从而，
又点到直线的距离，
，
设，则，，
当且仅当，即时等号成立，且满足，
四边形的面积的最大值为2.
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且以点为圆心，长为半径的圆与直线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，分别交抛物线于点，，若的平分线与轴平行，试探究：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定值-2
【解析】（1）根据题意，得解得，.∴抛物线的方程为.
（2），由的平分线与轴平行，可知直线，的斜率都存在，且不等于零，两斜率互为相反数.
设，，直线，.
由得，已知此方程的一个根为4，
∴，∴.同理，∴，.
∴，
∴.∴直线的斜率为定值.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知椭圆，点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形，求实数的取值范围
【答案】（1）； （2）或.
【解析】（1）由题设知，.由点在椭圆上，得.
解得，
又点在椭圆上，.
即，解得.
所以椭圆的方程是.
（2）设、，
由得
，，，
设，则
依题意，得

即

有解

化简得，或
8. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．
【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，
所以，，
所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，可得直线的方程为．
由，得，
解得或，从而．
又，故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
9. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．
（1）求椭圆的方程
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在直线满足题设条件,详见解析
【解析】（1）由已知可得，

解得，，，所以椭圆的方程为．
（2）由已知可得，，∴.∵，
∴可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，
得.设，
则，∵.
即
∵
即，∵
∴或.
由，得
又时，直线过点，不合要求，∴，
故存在直线满足题设条件.

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值
【答案】（1）；(2)．
【解析】（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1.
（1）试求出抛物线的方程；
（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，且坐标为
【解析】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，，所以抛物线的方程为，
（2）由题意，，
设由，得，直线，
整理可得，
直线①若斜率存在，设斜率为，与联立得
，
，
若点存在，设点坐标为，


，
时，，
解得或（不是定点，舍去）
则点为经检验，此点满足，所以在线段上，
②若斜率不存在，则，
此时点满足题意，
综合上述，定点为.
12. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析。
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，
所以，整理得．
故椭圆的方程为．
由已知得椭圆过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意得直线的方程为．
由消去整理得，
其中．
设，的中点
则，
所以
∴，
∴点C的坐标为．
假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，
则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．
①当时，则过点且与垂直的直线方程，
令，则得．
若，则，
∴．
若，则，
∴．
②当时，则有．
综上可得．
所以存在点满足条件,且m的取值范围是.
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.
（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由可得，可得，解得；
（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，
设过的直线为，，
联立抛物线方程可得，
由直线和抛物线相切可得△，解得，
可取，可得切线的倾斜角为，
由抛物线的定义可得，而的最小值为，
的最大值为；
（3）由，可得，设，，，，，，，，，
设，联立抛物线，可得，
即有，，
由两直线垂直的条件，可将换为，可得
，，
点满足，
可得，，，
即为①，
②，
联立①②式消元可得，
则的轨迹方程为
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．
（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；
（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．
【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析
【解析】（1）设直线的方程为，代入抛物线，
可得，
设，，则，
点为线段的中点，可得，即，
则抛物线的方程为；
（2）证明：设，，点为线段的中点，
可得，，
由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，
由，可得，①
同理可得，②
①②可得，
即为，即．
可得交点在一条定直线上．
15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）为定值4，详见解析
【解析】（Ⅰ）设，∵，
则，
又，则，代入上式，得,
由已知：，则，
从而，即．
（Ⅱ）设直线的方程为：，
联立得：，
由，
由韦达定理：，，
由（1），则，
则，
即：，
所以：，
得：或，
当时，直线，不合题意，
当时，直线，过定点，
又，，
则，为定值．
16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知椭圆：的两个焦点为,,焦距为,直线:与椭圆相交于,两点,为弦的中点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线:与椭圆相交于不同的两点,,,若（为坐标原点）,求的取值范围.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1） 焦距为,则,
设,,
为弦的中点,根据中点坐标公式可得:,,
又 将其,代入椭圆:

将两式作差可得:,
,
——①.
——②
由①②得:
椭圆的标准方程为.
（2） ,,三点共线,
根据三点共线性质可得: ,则
设,,则,
.
将直线和椭圆联立方程消掉.
可得:.
——①,
根据韦达定理:,,
代入,可得:,,
,即.
,,
——②,
代入①式得,即,
,
满足②式,
或.
17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.

（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（I） ，；（II） ．
【解析】（Ⅰ）由抛物线定义可得，
∵点M在抛物线上，
∴，即 ①
又由，得
将上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲线的方程为，曲线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，.
则，
设，，
则，
所以， ②
设直线的方程为 ，
由，解得，
所以，
由②可知，用代替，
可得，
由，解得，
所以，
用代替，可得
所以

，当且仅当时等号成立．
所以的取值范围为.
18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；
（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由是等腰直角三角形，可得，
故椭圆方程为；
（2）设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，
将线的方程为代入椭圆方程，
消元可得，
∴，
，
，
令，则
令，则（当且仅当时取等号）
又面积，
∴△AOB面积的最大值为；
（3）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，
设，
因为，所以．
于是设直线的方程为，代入椭圆方程，
消元可得．
由，得，且,
由题意应有，所以，
所以．
整理得．
解得或．
经检验，当时，不存在，故舍去．
∴当时，所求直线存在，且直线l的方程