高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题09 概率与统计（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题09 概率与统计（第02期）（解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题09　概率与统计
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，
又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；
由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.
故选：D.
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】如图是数学界研究的弓月形的一种，是以为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设六边形的边长为1，由题意得，
，
.
故选：A.
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四名学生从四个地方任选一个共有种选法，
恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，
考虑先分堆在排序共有种，
所以恰有一个地方未被选中的概率为.
故选：B
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
5. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第个月与去年第个月之比），则下列说法错误的是（ ）

A．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年
B．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨
C．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量
D．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减
【答案】D
【解析】由图易知A，B正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D错误.
故选：D
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可估计肥猪图案的面积大约是.
故选：B.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为的圆，钱中间的正方形孔的边长为，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，，所以．
故选：D
8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）

成绩/分
班内排名
甲
95
9
乙
94
11
丙
93
14
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【解析】由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人，
∴从这5名同学中随机抽取2名同学，
基本事件总数为，
这两位同学成绩相同包含的基本事件数是，
∴这两位同学成绩相同的概率，
故选：B．
9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，甲乙丙扮演角色的所有情况有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），（甲—西施，丙—貂蝉，丁—昭君），（甲—昭君，丙—西施，丁—貂蝉），（甲—昭君，丙—貂蝉，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—昭君，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—西施，丁—昭君），共种
其中满足条件的仅有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），共种
所求事件的概率为
本题正确选项：
10. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】在2019年的国庆假期中，重庆再次展现“网红城市”的魅力，吸引了3000多万人次的客流.北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”.如果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览“朝天门”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】“洪崖洞”，“解放碑”，“朝天门”分别记为，
随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：
，
共有6种安排方法，
其中最后游览“朝天门”由2种安排方法
其概率为.
故选：C
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.
故答案为D.
12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）

A．17.5和17 B．17.5和16
C．17和16.5 D．17.5和16.5
【答案】D
【解析】根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,
再根据中位数的概念可得中位数为17.5,
根据平均数的概念可得平均数为.
故选:D
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）

A．残差平方和变小 B．相关系数变小
C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱
【答案】A
【解析】

∵从散点图可分析得出：
只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，
∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】可能的取值为；可能的取值为，
，，，
故，.
，，
故，,
故，.故选B.
15. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【解析】∵，，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
故选C．
16. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】如图，半径为的圆内有一内接正六边形，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角形面积公式可得：
，
又，
由几何概型中的面积型可得：
，
故选：A.
17. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的取法，
其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，
所以概率为，故选B.
18. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设样本数据的方差是5，若，则的方差为_______
【答案】20
【解析】因为样本数据的方差是5，若，
所以的方差为.
故答案为：20
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点的距离都大于1的概率为___．
【答案】
【解析】到点距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为
3. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（文)】某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
【答案】6
【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，
抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为6．
4. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
温差
11
13
12
8
发芽数（颗）
26
32
26
17
根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程中的，则求得的_____；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数，再求与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程_____（填“可靠”或“不可靠”）．
【答案】3 可靠
【解析】由题得．，
所以样本中心点为（12,28），所以，所以；
因为，所以12月4日的估计值为，
又，没有超过2，所以求得的线性回归方程可靠．
故答案为：；可靠.
5. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．
【答案】35
【解析】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，
抽样的比列为 ，故该学校的行政人员人数是735，
故答案为 35．
6. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______.
【答案】0.915
【解析】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：
p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915
故答案为：0.915
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】在2018、2019每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2018年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2019年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2019年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题):
第22题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
50
75
125
200
文科人数
25
25
125
0
25
第23题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
30
52
58
60
200
文科人数
5
10
10
5
70
(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；

选做22题
选做23题
总计
理科人数



文科人数



总计



(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.
附:

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
【答案】(1) 列联表见解析；有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第题，理由见解析
【解析】（1）由数据表可得列联表如下：

选做题
选做题
总计
理科人数



文科人数



总计



则的观测值
有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.
(2)全体高三学生第题的平均得分分别为:
；
；

以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第题.
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．
【答案】（1）分布列见解析,
【解析】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，
年龄在的人数为人，
年龄在内的人数为人．
年龄在内的人数为人．
所以的可能取值为0，1，2．
所以，
，
，
所以的分市列为

0
1
2





．
（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以．
设，
若，则，；
若，则，．
所以当时，最大，即当最大时，．
3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：
组别
年龄
组统计结果
组统计结果
经常使用单车
偶尔使用单车
经常使用单车
偶尔使用单车

27人
13人
40人
20人

23人
17人
35人
25人

20人
20人
35人
25人
（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.
①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明.
参考公式：，其中.
【答案】(1) ①9人 ②见解析；(2)
【解析】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为.
②组这4人中得到礼品的人数的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：
，，
，.
故其分布列为

0
1
2
3





∴.
（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：

经常使用单车
偶尔使用单车
合计
未达到35岁
125
75
200
达到35岁
55
45
100
合计
180
120
300
时，由（1）中的列联表，可求得的观测值
.
时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：

经常使用单车
偶尔使用单车
合计
未达到25岁
67
33
100
达到25岁
113
87
200
合计
180
120
300
可求得的观测值
.
∴，
欲使犯错误的概率尽可能小，需取.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：






27
74

182



表中，．
（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；
（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．
，
所以，
故关于的线性回归方程为．
（2）由（1）可得，
于是产卵数关于温度的回归方程为,
当时，；
当时，；
因为函数为增函数，
所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．
5. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：，，，，，，统计结果如下表所示：
组别






频数
5
20
30
30
10
5

以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：
（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；
（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润服从正态分布，其中，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）.
①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数（精确到个位）；
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：
方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
金额
50元
100元
概率


小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
参考数据：若，则，.
【答案】（1）；（2）①；②奖励方案二.
【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间内的频率为，
记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为，则.
所求的概率.
（2）①，.又，

.
故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为.
②易知.
对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为，则的可能取值为70，90，其对应的概率均为，故.
对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为，则的所有可能取值为50，100，150，200.
；
；
；
.
的分布列为

50
100
150
200





.，
从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并分成了以下几组（单位：万元）：，，，，，.统计结果如下表所示（统计表中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）：
组别






频数
5
20
30
30
10
5
（1）求这100天该大型超市日纯利润的平均数及中位数；
（2）该天型超市负责人决定利用分层抽样的方法从前2组中随机抽出5天数据分析日纯利润较少的原因，并从这5天数据中再抽出其中2天数据进行深入分析，求这2天的数据恰好来自不同组的概率；
（3）利用上述样本分布估计总体分布，解决下面问题：该大型超市总经理根据每天的纯利润给员工制定了两种奖励方案：
方案一：记日纯利润为万元，当时，奖励每位员工40元/天；当时，奖励每位员工80元/天；当时，奖励每位员工120元/天；
方案二：日纯利润低于总体中位数时每名员工发放奖金50元/天，日纯利润不低于总体中位数时每名员工发放80元奖金/天；
“小张恰好为该大型超市的一位员工，则从统计角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
【答案】（1）平均数为6.85万元，中位数为万元；（2）；（3）方案一
【解析】（1）这100天该大型超市日纯利润的平均数为：
（万元）.
前2组频率之和为，前3组频率之和为，
故中位数位于第3组.
设中位数为，则有，解得，
即这100天该大型超市日纯利润的中位数为万元.
（2）由分层抽样知识可知，所抽取的5天数据中，来自于，这2组的天数分别为1，4.记来自于的1天为，来自于的4天分别为，，，，
则从中抽取2天的数据的所有可能结果有：，，，，，，，，，，共10种，
其中这2天的数据来自不同组的有：，，，，共4种.
故所求的概率为.
（3）设选择方案一时小张每天的奖金为元，
则的可能取值为40，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
所以获得奖金的平均数（元）.
设选择方案二时小张每天的奖金为元，
则获得奖金的平均数（元）.
因为，所以从统计角度看，小张选择方案一更有利.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（文)】某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量







频数







使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量






频数






（1）在答题卡上作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
8. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以


．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以 ，
，
，
．
所以的分布列为

0
1
2
3





所以数学期望．
9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示．
表一：
价格/（元/千克）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
种类数
4
12
16
6
2
在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二．
表二：

喜欢传统馅料粽
喜欢特色馅料粽
总计
40岁以下
30
15
45
40岁及以上
50
5
55
总计
80
20
100
（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？
参考公式和数据：（其中为样本容量）
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关
【解析】（1）根据表一的数据，
，
估计该商场粽子的平均销售价为21.25；
（2）根据表二信息，
，
所以有的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．
10. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩(分)





乙的成绩(分)





(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）选方案二
【解析】(1)解法一：甲的平均成绩为；
乙的平均成绩为，
甲的成绩方差；
乙的成绩方差为；
由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.
解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得以上(含分)的概率，乙获得分以上(含分)的概率
因为故派甲参赛比较合适，
(2)道备选题中学生乙会的道分别记为，，，不会的道分别记为，.
方案一：学生乙从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，共5种，抽中会的备选题的结果有，，，共3种.
所以学生乙可参加复赛的概率.
方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有
，，，，，，，，，，共种，
抽中至少道会的备选题的结果有：
，，，，，，共种，
所以学生乙可参加复赛的概率
因为，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】2019年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同），再创新高，比去年218（十亿元）多了50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者买买买的表现，更是购物车里中国新消费的奇迹，为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据（单位：十亿元），绘制如下表1：
表1
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售额
0.9
8.7
22.4
41
65
94
132.5
172.5
218
268
根据以上数据绘制散点图，如图所示．

（1）把销售额超过100（十亿元）的年份叫“畅销年”，把销售额超过200（十亿元）的年份叫“狂欢年”，从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取2个，求至少取到一个“狂欢年”的概率；
（2）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（3）根据（2）的判断结果及下表中的数据，建立关于的回归方程，并预测2020年天猫双十一的销售额．（注：数据保留小数点后一位）
参考数据：，






参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）（2）更适宜．（3）324.7十亿元．
【解析】（1）畅销年个数：4，其中的狂欢年个数：2，记畅销年中不是狂欢年为；
狂欢年为，则总共有，，，，，
则
（2）由题意更适宜．
（3），
，
，当时，（十亿元），
预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元．
12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13,2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位下表截取了2012--2016年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）.
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代码
1
2
3
4
5
高铁密度
9.75
11.49
17.14
20.66
22.92
已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式（为大于0的常数）若对两边取自然对数，得到，可以发现与线性相关.
（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程（保留到小数点后一位）；
（2）利用（1）的结论，预测到哪一年高铁密度会超过30千米/平方千米.
参考公式设具有线性相关系的两个变量的一组数据为，
则回归方程的系数：，.
参考数据：，，，，，.
【答案】（1）；（2）2019年
【解析】（1）对，则.
令，，，…，n，
得，则与v具有线性相关关系，
，
，
所以，，
故.
所求回归方程为.
（2）由（1）可知：
由高铁密度超过30千米/万平方千米，
所以，即0. ，
解得，所以，
即时，高铁密度会超过30千米/万平方千米.
所以预测到2019年，高铁密度会超过30千米/万平方千米
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.

（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求、的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.
①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，不需要说明理由.
【答案】（1）；；甲在1分钟内解开密码锁的频率是；乙在1分钟内解开密码锁的频率是（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙
【解析】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，
∴，解得；
∴，解得；
∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是；
乙在1分钟内解开密码锁的频率是；
（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是，，且各人是否解开密码锁相互独立；
设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为
则，，，，∴，
①∴
同理可求得
所以按乙丙甲派出的顺序期望更小.
②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙，
（下面是理由，给老师和学生参考）
设按先后顺序自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，
根据题意知的取值为1，2，3；
则，，，，∴，
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
∵交换前，
∴交换后的派出顺序则期望值变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.
14. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计规定：分数不小于240分为“优秀”小于240分为“非优秀”．
（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．
性别
优秀
非优秀
总计
男生
35


女生

75

总计



（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）见解析，没有以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关；
（2）见解析，
【解析】（1）根据题意，填写2×2列联表如下；
性别
优秀
非优秀
总计
男生
35
65
100
女生
25
75
100
总计
60
140
200
计算，且，
所以没有以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关；
（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，
男生有7人，女生有5人，从这12名学生中抽取3人，
抽到的3人中女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；
计算，
，
，
，
所以X的分布列为：

0
1
2
3





数学期望为
15. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下．

（1）估计明年常规稻A的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；
（3）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：，，，，
附：线性回归方程，．
【答案】（1）3.62（元／公斤）； （2）；（3）明年选择种植杂交稻B收入更高.
【解析】（1）设明年常规稻A的单价为，则的分布列为

3.50
3.60
3.70
P
0.1
0.6
0.3
，
估计明年常规稻A的单价平均值为3.62（元／公斤）；
（2）杂交稻B的亩产平均值为：．
依题意知杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：，
则将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率为：
．
（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，
由题中提供的数据得：，由 ，
所以线性回归方程为，
估计明年杂交稻B的单价元／公斤；
估计明年杂交稻B的每亩平均收入为元／亩，
估计明年常规稻A的每亩平均收入为元／亩，
因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B收入更高．
16. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：







空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
【答案】（1） （2）9060元
【解析】（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
所以（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.