高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题08 立体几何（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题08 立体几何（第02期）（解析版），共57页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题08　立体几何
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设平面与直线交于点，连接，则为的中点.
分别取的中点，连接，则，
∵平面，平面，

∴平面，同理可得平面.
∵是平面内的两条相交直线，
∴平面平面，且平面，
可得直线平面，即点是线段上的动点.
设直线与平面所成角为，运动点并加以观察，可得：
当点与点（或）重合时，与平面所成角等于，此时所成角达到最小值，满足；
当点与中点重合时，与平面所成角达到最大值，
此时，∴与平面所成角的正切值构成的集合为，故选D.
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合题意，绘制图形

结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得
，解得，故选B。
3. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，
所以，该球形容器的半径的最小值为，
因此，该球形容器的表面积的最小值为.

故选：C.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，在正方体中，平面，垂足为H，给出下面结论：
①直线与该正方体各棱所成角相等；
②直线与该正方体各面所成角相等；
③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形；
④垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，
其中正确结论的序号为（　　）

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【解析】如图，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，
连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，
直线A1H与直线A1C重合，
直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；
直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；
过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；
垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，
所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．
故选：D．
5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是.那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是.

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为 ,
所以这个斗的质量为,
所以这个斗的质量为.
故选:C.
6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵PA与PB、PC垂直，∴平面，
∴是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，
由平面得，，要使最大，则最小，
显然当时，最小，此时，
又，∴，而，∴，
由，得，从而，

如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，
∴球表面积为．
故选：A．
7. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一棱长为1的正方体截去一角所得的几何体（如图所示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为，所以所求外接球的表面积.
故选：A.

8. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,
则圆锥的体积为,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展开整理得R=所以外接球的体积为,
故所求体积比为
故选：A

9. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接
设则所以
连接因为
所以异面直线与所成角即为
在中
故选

10. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：
三棱锥的体积不变；
平面；
；
平面平面．
其中正确的结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】

对于，由题意知，从而平面，
故BC上任意一点到平面的距离均相等，
所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；
对于，连接，，且相等，由于知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得，故正确；
对于，由于平面，所以，
若，则平面DCP，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；
对于，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确．
故选：C．
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，三棱柱的高为6，点D，E分别在线段，上，，E.点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面的面积为6，则较大部分的体积为　　

A．22 B．23 C．26 D．27
【答案】B
【解析】如图，延长AD与的交点为P，连接PE与的交点为N，
延长PE交为M，与面ABC交于点Q，
得到截面为DNMA，
，，，N分别为，的中点，
下部分体积．
故选B．

12. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：

顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，
故该锥体的正视图是：A
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

构造平面，平面，则平面，平面，
设正方体边长为1，则，，，
，
设到平面的距离为，则，解得，
平面，同理可得平面，
正方体夹在平面与之间的部分体积为，
∴体积之比是，
故选：C．
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点为的中点，点在上，，平面，则的值为（ ）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】如下图所示，设交于于点，连接，

为的中点，则
四边形是平行四边形，，∽，
，，
又平面，平面，平面平面．
,．
故选：D．
15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知正方体的棱长为1，其内切球与外接球的表面积分别为，，则（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】C
【解析】内切球的半径，外接球的半径，
所以表面积之比为.
故选：C.
16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，

为的中点，
外接球球心在过的中点且垂直于平面的直线上，
又点到的距离相等，
所以又在过左边正方体一对棱的中点所在直线上，
在中，由，即，得，
所以三棱锥外接球的球半径，
.
17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在正视图与侧视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，几何体如图所示

（1）前面和右面组成一面

此时PQ=
（2）前面和上面再一个平面

此时PQ=

故选C
18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为

A．2 B．1
C． D．
【答案】C
【解析】由正视图可知：是的中点，在处，在的中点，
俯视图如图所示：

可得其面积为：，故选C．
19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点（点M与A、不重合），则下列结论正确的个数为（ ）

①存在点M，使得平面平面；
②存在点M，使得平面；
③若的面积为S，则；
④若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】连接,,

设平面与对角线交于M,由,可得平面,即平面,所以存在点M,使得平面平面,所以①正确；
连接,,

由,,利用平面与平面平行的判定,可证得平面平面,设平面与交于M,可得平面,所以②正确；
连接交于点O,过O点作,

在正方体中,平面,所以,所以OM为异面直线与的公垂线,根据,所以,即,
所以的最小面积为,
所以若的面积为S,则,所以③不正确；
在点从的中点向着点A运动的过程中,从1减少趋向于0,即,从0增大到趋向于2,即,在此过程中,必存在某个点使得,所以④是正确的,
综上可得①②④是正确的,
故选:C
20. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据几何体得三视图，转换为几何体为：下面为一个半径为2，高为2的圆柱，上面为一个半径为1，高为1的小圆柱，
故：
故选：C．
21. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有人骑行共享单车的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为，
则，
，
，
.
故选：A．
22. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】在边长为8的等边中，分别为的中点，现将沿折起到的位置，使得，则直线与底面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取的中点连接，
则，故，
∴，∴
又，，故平面，
∴为直线与平面所成的角，
∴．
故选：B．

23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知半径为4的球面上有两点、，，球心为，若球面上的动点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，，所在球小圆为圆，取中点，连结，，

由题易知，，，
又平面，平面，平面与平面交于，
则即为二面角的平面角
，
由，，
可得为等腰直角三角形，
，
由题易知，平面，
又平面，
，
在中，则 ，，
，
设四面体的外接球球心为，半径为，
在中，
，即，
解得：，
故选：C.
24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）.

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，

A是棱的中点，在△ADC中，AC＝2，且CD ∴AD=，
2=4；
在△ABD中，AB＝2，BD=4，
由余弦定理得，
cos∠DAB，∴sin∠DAB，
∴2,
又与均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，
∴三棱锥A﹣BCD的表面积为12+2=，
故选：A．
25. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“的必要不充分条件，故选B．
26. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.
故选：B
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，有下面三个结论：①点是的中心；②垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.

【答案】①②③
【解析】对于①，因为平面，，
所以，
所以，所以是的外心；
又因为是等边三角形，所以点是△的中心.故①正确；
对于②，因为，，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
同理可证平面.
又因为，所以平面平面；
又因为垂直于平面，所以垂直于平面.故②正确；
对于③，连接.
因为四边形是正方形，所以.
因为平面，平面，所以.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以，
所以直线与所成的角是90°.

故答案为①②③
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.
【答案】
【解析】

如图1，取的中点,连接、，由已知易知面面，则外接球的球心在面中.由二面角的大小为可知.
在面中，设球心为，作，连接，
易知在面上的投影即为，平分，
为的中心，，，
，.
故答案为：
3. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数的图象与x轴围成一个封闭区域A（阴影部分），将区域A（阴影部分）沿z轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A（阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.

【答案】
【解析】由题意得，阴影区域在上为半个圆，
底面积圆，
所以该柱体的 体积为.
故答案为：.
4. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图（1），若函数的图象与轴围成一个封闭区域，将区域沿轴的正方向向上平移6个单位，得到一几何体。现有一个与之等高的圆柱如图（2），其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为______．

【答案】
【解析】圆柱底面面积为，
所以圆柱的体积为.
故答案为：.
5. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_______．
【答案】
【解析】如图所示，取，的中点，，则，，由线面判定定理可知：平面，平面，而，所以平面平面，设是底面正方形的中心，所以正四棱锥的高为，则，则有，而，所以平面，所以平面，因为
，所以有，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为△，，，
则动点的轨迹的周长为．

故答案为：
6. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图（1），在等腰直角中，斜边，D为的中点，将沿折叠得到如图（2）所示的三棱锥，若三棱锥的外接球的半径为，则_________.
图（1） 图（2）
【答案】
【解析】球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面A'BD，
取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，
因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，
所以A'和B关于平面CDG对称，
在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，
则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，
因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，
即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R，
∴A'F2，
所以，BF＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，
∴OE2，
∴三角形A'DF为等边三角形，
∴∠A'DF，
故∠A'DB，
故填：．

7. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．

【答案】4
【解析】由题意几何体的直观图如图，

其中，底面，是正方形，
边长为3，，，
所以，，
所以最长的棱长为4，
故答案为：4．
8. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由，根据同角三角函数关系式得
，解得
所以 ，因为，，由余弦定理
代入得
所以△ABC为等腰三角形，且 ，由正弦定理得△ABC外接圆半径R为 ，解得
设△ABC外心为 ， ，过 作
则在 中
在中
解得
所以外接球面积为
9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】如图，三棱锥的四个顶点恰是长､宽､高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．

【答案】
【解析】 长方体的体对角线为
又因为三棱锥的外接球直径是长方体的体对角线


，
，当且仅当时，等号成立，

三棱锥外接球体积的最小值为
故答案为：.
10. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.
【答案】
【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=.
则A(2,0,0),B(,,设，
所以,所以.
所以，所以.
即点M是中点时，平面BDM.
设三棱锥的外接球的半径为R,设△MBD的外接圆半径为r,
则，
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，在三棱柱中，,点是的中点.

（1）求证: 平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1) 见解析;(2) .
【解析】:(1).又为中点，.又平面平面.

(2)为中点，.又
.又由（1）知，，则以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
..设平面的一个法向量为，则，令，得.
设与平面的所成角为，则.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.

（1）证明：平面；
（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明（2）
【解析】解法1：
（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．

设，，则，，， ，，，，，．
因为，，
所以，，面，面，
于是平面．
（2）设平面的法向量，
则，，
又，，
故，取，得．
因为与平面所成的角为，，
所以， ，
解得，．
由（1）知平面的法向量，
，
所以二面角的余弦值为．
解法2：
（1）取中点，连接、,
，
平面，平面
，
而平面,平面,
平面．
为中点， ，，
，，
四边形为平行四边形，
．
平面．
（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．

设，，，则，，．
设平面的法向量，
则，，
又，，
故，
取，得．
因为与平面所成的角为，，
所以， ，
解得，．
由（1）知平面的法向量，

所以二面角的余弦值为．
解法3：
（1）同解法2．
（2）设，，则，,，

，，
到平面距离，设到面距离为，
由
得，即
．
因为与平面所成的角为，
所以，
而在直角三角形中，
所以，
解得．
因为平面，平面,所以，
平面，平面所以，所以平面，
平面,平面
所以为二面角的平面角，
而,可得四边形是正方形，所以，
所以二面角的余弦值为．

3. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；
（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：因为是半圆的直径，所.
因为垂直于所在的平面，，
所以，所以平面.
因为，且，
所以四边形为平行四边形.
所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则.
设平面的一个法向量为，
则即
则，
则.
因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，
且，故且.所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，所以，平面.
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为.
5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）∵，是的中点，
∴，
∵三棱柱中平面，
∴平面平面，且平面平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
又∵在正方形中，，分别是，的中点，
∴，
又，
∴平面.

（2）解法一（割补法）：

.

解法二（利用平行顶点轮换）：
∵，
∴，
∴
.
解法三（利用对称顶点轮换）：
连结，交于点，
∵为的中点，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
∴
.
解法四（构造法）：
连结，交于点，则为的中点，再连结.
由题意知在中，，，所以，且，
又，，所以，所以，
又，
∴面，
∴.
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】如图，多面体是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面为原正三棱柱的底面，，点D为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)设与交于点E，连接、.
∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得，，
∴四边形是正方形，且.
∵点D为的中点，平行且等于，
∴.
同理，
∴.
∵E为的中点，
∴.
又∵，，
∴平面；

(2)取的中点O，连接.
∵为正三角形，.
由正棱柱的性质可得，平面平面，
且平面平面，
∴平面.
以点O为原点，向量、、分别为x、y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，，即.
由（1）可知，平面的一个法向量为.
，
又∵二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（文)】如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：连接交于，设中点为,连接，

，分别为，的中点
,且 且
四边形为平行四边形
, 即
平面，平面
四边形是菱形
平面，即平面
又平面 平面平面
（2）
平面平面
到平面的距离为


8. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面

2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得,取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，
．
所以
9. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.
【解析】（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以

因为在平面内的正投影为，所以
所以平面，故
又由已知可得，，从而是的中点.
（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.
连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.
由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故
由题设可得平面，平面，所以，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得
在等腰直角三角形中，可得
所以四面体的体积
10. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，G为的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，进而，即，又∵平面平面，
平面，平面平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）∵，∴直线与平面所成的角即为直线与平面所形成的角，
过点A作于点H，连接，又平面平面，
由（1）知平面，∴直线与平面所成的角为，
在，，，，由余弦定理得，
∴，∴，在中，，
∴直线与平面所成角的正弦值.

11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．

（1）求证：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面，
为的中点连接交于，点在侧棱上，且，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，平面，
平面；
（2）解：，，
，，
由，解得，，
三棱锥的体积：
．
12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】如图所示，已知正方形所在平面垂直于矩形所在的平面，与的交点为分别为的中点，，．

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥底面上的高．
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【解析】（1）在正方形中，与交点为，
是的中点，
又是的中点，
易知．
正方形所在平面垂直于矩形所在的平面，且交线为．
平面．
由，，
得，．，
，
，
，
又，
平面．
平面，
平面平面．
（2）设三棱锥底面上的高为，
由（1）可得． ．
在中，因为，
，
又，
，
解得．
故三棱锥底面上的高为．
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】如图，已知在四棱锥中，底面为正方形，，点为的中点，.

（1）求证：平面平面；
（2）若正方形的边长为4，求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：由，点为的中点，
可知，再已知，
且，相交于，则平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，
则平面平面，相交于.
作，可知为点到平面的距离，
且
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】如图，在三棱锥P-ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心.

（1）证明：平面平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值为，试求的值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：如图，设的中点为，连接，

由题意，得，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点在平面上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以，，，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，，
设平面的法向量为，
则得
令，得，，
即．
设平面的法向量为，
由得
令，得，，即

解得即M为PA的中点．
15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】如图，四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，.

（1）若，求证：//平面；
（2）若，且三棱锥的体积为，求.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接交于点，连接.
如图

由四棱柱的性质可知//，
且，则//.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴.
同理，∴，
∴四边形为平行四边形，∴//.
又平面，平面，
∴//平面.
（2）∵，∴.
又，∴.
由正弦定理可得，
解得，
∵，∴，
∴，即.
又平面ABCD，即平面ABCD，
∴，CD，CA两两垂直.
∴，
∴，∴.
16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，
又因为平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面，
而平面，所以平面.
（2）解：因为，，所以，
因为平面，故平面平面，
作于点，则平面，
以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，得，，
则，，，，

所以，
由已知，所以，，
设平面的一个法向量为，则，
取，，，得，又平面的一个法向量为，
所以，即二面角的余弦值为.