高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题13 选讲部分（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题13 选讲部分（第02期）（解析版），共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)                             专题13　选讲部分一、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．代入曲线的普通方程，得，则，所以，点的坐标为．（2）将代入，得，因为，，所以．得．由于，故．所以直线的斜率为．2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，可转化为或或，所以不等式的解集为. （2）根据题意，，，即，.记不等式右边函数为，根据题意于是的值域为，因此实数的最小值为.3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，设曲线上任意一点关于直线对称点为，所以 又因为，即，所以曲线的极坐标方程为：法二：由题可知，的极坐标方程为： ，设曲线上一点关于 的对称点为，所以 又因为，即，所以曲线的极坐标方程为：(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：设，所以解得，解得因为：，所以当即时，，取得最大值为：4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）当时，，即，解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，所以，的解集的解集为． 解法2：原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为．（2）．则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，． 因为对，恒成立，所以．又因为，所以，解得 （不合题意）．所以的最小值为1．5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】设函数(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）最小值为3【解析】(1)当时，不等式化为，或，或综上，原不等式的解集为(2)时，作与的图像，可知的最小值为3(这时)6. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）【解析】（Ⅰ）， 将，代入的普通方程可得，即，所以曲线的极坐标方程为 （Ⅱ）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）代入，可得， ∴t1+t2，t1•t2，所以．7. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若，求直线被圆所截得的弦长；（2）设，且直线与圆交于两点，若，求角的大小.【答案】（1）4；（2）或【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.当时，直线的方程为，恰好经过圆的圆心，故直线被圆所截得的弦为圆的直径，其长为4.（2）将代入，得，，设对应的参数分别为，则，，异号，，所以，又，所以或.8. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】已知函数．（1）解不等式；（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）等价于 或或，故或或，综上解集为. （2）当且仅当取等号，，，，当且仅当时等号成立，．9. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.【答案】（1）， ； （2）.【解析】(Ⅰ)，，∴，∴.联立方程组得，解得，，∴所求交点的坐标为，.(Ⅱ)设，则.∴的面积∴当时，.10【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相切，求m的值．【答案】（1）直线l的普通方程为x+2y﹣4﹣2m＝0；曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣1＝0（2）m或【解析】（1）直线的参数方程为，为参数），可得，即直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为，即为，由，，，可得；（2）由（1）可得曲线表示以为圆心，为半径的圆，由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即为，解得或．11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知函数f（x）＝|x+4m|+|x+2m+1﹣3|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）试证明f（x）≥2．【答案】（1）{x|x≥1或x≤﹣6}（2）证明见解析【解析】（1）当时，．因为，所以或，所以或，所以不等式的解集为或；（2）证明：，当且仅当，即时取等号，所以．12. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】在平面直角坐标系xOy中，曲线：，（为参数），将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线交于不同的两点A，B，点M为抛物线的焦点，求的值。【答案】（1），（2）【解析】（1）将曲线：(为参数)，消参得，经过伸缩变换后得曲线：，化为极坐标方程为，将直线的极坐标方程为，即，化为直角坐标方程为．（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数）设对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入中，得．因为在内，所以恒成立，由韦达定理得所以．13. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知函数，．（1）解不等式；（2）若的最小值为，且存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，解得，即；当时，．解得，即；当时，，解得，即.故原不等式的解集为 .（2）由（1）知，，所以当时，取最小值． 而，由题意可知，，即，解得，所以实数的取值范围为．14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】在直角坐标系中,曲线:(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:,曲线与曲线相交于,两点.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方;（2）点,求.【答案】（1）：，直线：（2）【解析】（1）:即. ——①  :——②将①-②得: :, 曲线的直角坐标方程: ,直线的一般方程为:.（2）:, 在上,直线的参数方程为:（为参数）,代入:,整理得,根据韦达定理: ,,,.故:.15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数.（1）若,求不等式的解集;（2）证明:对任意,.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时,①当时,,得；②当时,,得,∴③当时,,得,∴.（2） . 对任意,.16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线与曲线相交于不同的两点，，求的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）依题意，曲线：，故，即，即；直线：，即，即，故；（Ⅱ）将直线的参数方程代入中，化简可得，设，所对应的参数分别为，，则，，故.17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】已知函数（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）已知，且，求证【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ），即，由绝对值的几何意义得：；（Ⅱ），要证，只要证，即18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），圆.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线与圆的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与曲线相交于，与圆相交于（异于原点），当时，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）已知曲线（为参数），转换为直角坐标方程为.转换为极坐标方程为，即.圆，转换为极坐标方程为.（2）由于与以点为顶点时，他们的高相同，即：，由（1）知，所以.由于，故，当，即时，的最大值为.19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数，记的最小值为.（1）解不等式；（2）是否存在正数,同时满足：？并说明理由.【答案】(1) ；(2)不存在.【解析】（1）不等式化为设函数，则，令，解得，原不等式的解集是 （2）当且仅当，即时取等号，故 假设存在符合条件的正数，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为8，即不存在正数，使得同时成立.20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知，，均为正实数，求证：（1）；（2）若，则.【答案】证明过程详见解析【解析】(1)要证，可证，需证，即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式成立．(2)因为均为正实数，由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号．21. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．（1）当时，设直线与曲线交于两点，求的值；（2）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程．【答案】（1）3（2）【解析】（1）由，得曲线的普通方程为．当时，直线的参数方程为，代入为，得．∴.（2）设，则由，得，即，消去，得，∴点M的轨迹方程为．22. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知函数．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）在面直角坐标系中作出函数的图象如下：∵当时，，当时，，∴根据图象可得解不等式，的解集为；（2），当且仅当（时取等号，∴的最小值为2，∵不等式对任意的恒成立，∴只需，∴，∵，∴.23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是何种曲线；（2）设点的坐标为，直线交曲线于、两点，求的最大值.【答案】（1），圆；（2）.【解析】（1）解：将，，代入，得，即，曲线是以为圆心，以2为半径的圆；（2）由直线的参数方程，可知直线过定点，记，分别为直线上、两点对应的参数，点，均在点的下方，，，把，（为参数）代入，得，，，，令，得或（舍），由系数的几何意义知，，（），，的最大值为.24. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，函数，不等式化为，当时，不等式化为，解得，即；当时，不等式化为，解得，即；当时，不等式化为，解得，此时无解；综上，所求不等式的解集为；（2）不等式即为，所以（*），显然时（*）式在上不恒成立；当时，在同一直角坐标系中分别作出和的图象，如图所示：由图象知，当，即时（*）式恒成立，所以实数的取值范围是.25. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点的直角坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）时，x=1；时，；（2）【解析】（1）当时，的普通方程为；                          当时，的普通方程为，即 .            由得,即 .                                                      （2）将代入整理得                               依题意得，即，即         得,所以直线的斜率为26. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】设函数，（实数） （1）当，求不等式的解集（2）求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）原不等式等价于，当时，可得，得；                           当时，可得，得不成立；                 当时，可得，得；                       综上所述，原不等式的解集为                     （2）                         当且仅当时等号成立                               又，当且仅当的时等号成立                   所以