北师大版八年级数学下册 期中测试卷

期中测试卷 （答案版）

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1．(2020·龙华区二模)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　D　)

A　　         B　　               C　           　  D

2．(2020·常州)如果x<y，那么下列不等式正确的是(　A　)

A．2x<2y B．－2x<－2y

C．x－1>y－1 D．x＋1>y＋1

3．下列命题是真命题的是(　C　)

A．有两条边与一个角相等的两个三角形全等

B．等腰三角形的对称轴是底边上的中线

C．全等三角形对应边上的中线相等

D．有一个角是60°的三角形是等边三角形

4．(2020春·南山区校级期中)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．4

5．(2020·台州)如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C(0，－1)对应点的坐标为(　D　)

A．(0，0) B．(1，2)

C．(1，3) D．(3，1)

6．有两种商品的单价总和超过100元，且甲商品的价格是乙商品价格的2倍少10元，那么乙商品最低价为(　C　)

A．35元　 B．36元　

C．37元　 D．38元

7．已知关于x的方程3x－a＋1＝2x－1的解为负数，则a的取值范围是(　D　)

A．a≥－2　 B．a＞－2　

C．a≤2　 D．a＜2

8．(2020·新疆)如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为(　A　)

A．2 B．5

C．4 D．10

9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC的度数为(　D　)

A．100°　 B．140°　

C．130°　 D．115°

10．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为(　B　)

A．－　 B．3－　

C．2－　 D．3－

解析：如图，设CD与EF交于点S，连接AS.由旋转的性质知AB＝AE＝AD＝，∠E＝∠B＝∠D＝90°，∠BAE＝30°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－∠BAE＝60°.在Rt△AES与Rt△ADS中，

∴Rt△AES≌Rt△ADS(HL)，∴∠EAS＝∠DAS＝∠EAD＝30°，∴SA＝2SD.设SD＝x，

则SA＝2x，

由勾股定理得x2＋()2＝(2x)2，解得x＝1，

∴SD＝1，∴S△ADS＝AD·SD＝××1＝，∴S阴影＝S正方形ABCD－2S△ADS＝()2－2×＝3－.故选B.

二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)

11．(2020·浙江自主招生)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝15°，则S△ABC＝____25____．

12．(2019秋·斗门区期末)如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠ADO的度数为_____75__．

13．(2020·香坊区模拟)不等式组的解集是_____＜x＜2

14．如图所示是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b>0的解集为____x>－2____．

15．如图是3×4的正方形网格，其中已有5个小方格涂上阴影，若再选取标有①，②，③，④中的一个小方格涂上阴影，使图中所有涂上阴影的小方格组成一个中心对称图形，则该小方格是__④______(填序号)．

16．若不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____2<m≤3

17．如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为_____4 cm___．

三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

18．(2019秋·颍州区期末)如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．(过D作DG∥AC交BC于G)

证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．

∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.

∵在△GDF和△CEF中，

∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GD＝CE.

∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，

∴△ABC是等腰三角形．

19．解不等式：≥3(x－1)－4，并将它的解集在数轴上表示出来．

解：去分母，得x＋1≥6(x－1)－8.

去括号，得x＋1≥6x－6－8.

移项，得x－6x≥－6－8－1.

合并同类项，得－5x≥－15.系数化为1，得x≤3.在数轴上表示如下：

20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.

(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；

解：如图所示，△AB′C′即为所求；       

(2)画出△AB′C′向左平移4格后的△A′B″C″.

解：如图所示，△A′B″C″即为所求

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

21．(2020春·揭阳期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N.

(1)若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数；

解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠A＝40°，

∵MN是AB的垂直平分线，∴∠AMN＝90°，

∴∠MNA＝50°；

(2)连接NB，若AB＝8 cm，△NBC的周长是14 cm.求BC的长．

解：①∵AN＝BN，∴BN＋CN＝AN＋CN＝AC，

∵AB＝AC＝8 cm，∴BN＋CN＝8 cm，

∵△NBC的周长是14 cm.∴BC＝14－8＝6 cm.

22．对于整数a，b，c，d，定义＝ac－bd，如＝2×6－(－3)×3＝

(1)当＝2－3x时，x的值是多少？

解：根据题意得－6x－20＝2－3x，

解得x＝－；

(2)当≤4－k，关于x的不等式的负整数解为－1，－2，－3时，求k的取值范围．

解：根据题意得4－3x≤4－k，解得x≥.

∵不等式的负整数解为－1，－2，－3，

∴－4＜≤－3，解得－12＜k≤－9.

23．(2020·顺德区模拟)为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商家抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36 000元．

(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；

解：设A型号家用净水器购进了x台，则B型号家用净水器购进了(160－x)台，

根据题意得150x＋350(160－x)＝36 000，

解得x＝100，则160－x＝60.

答：A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台；

(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元？(注：毛利润＝售价－进价)

解：设每台A型号家用净水器的售价为t元，则每台A型号家用净水器的毛利润为(t－150)元，每台B型号家用净水器的毛利润为2(t－150)元，

根据题意得100(t－150)＋60×2(t－150)≥11 000，解得t≥200.

答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

24．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．

图①                图②

(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD；

证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点E.

∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＋∠AOD＝∠DOB＋∠DOA，

∴∠AOC＝∠DOB.

 ∵在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO.

又∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∠OGB＝∠AGE，

∴∠CAO＋∠AGE＝90°，

∴∠AEG＝90°，∴AC⊥BD；

(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．

                             图③

解：由(1)可知AC＝BD，AC⊥BD.

∵BD，CD在同一直线上，

∴△ABC是直角三角形．由勾股定理得BC＝＝＝24，故CD＝BC－BD＝BC－AC＝17.

25．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.

探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；

证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠F＝∠DEB＝90°.

∵DA平分∠BAC，∴DE＝DF.

∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°.

∴∠B＝∠FCD.

∵在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB(AAS)，∴DC＝DB.

图②                             

应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝_____a___(用含a的代数式表示)．

解析：如图③，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠F＝∠DEB＝90°.

∵∠B＋∠ACD＝45°＋135°＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD.

∵在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB(AAS)，

∴DF＝DE，CF＝BE.

∵在Rt△ADF和Rt△ADE中，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，

∴AF＝AE.

∴AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE.在Rt△DEB中，

∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a.BD2＝BE2＋ED2＝2BE2，∴BE＝a，

∴AB－AC＝a.

                                               图③