初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质精品同步测试题

22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

专题训练(三)　用待定系数法求二次函数解析式

一、已知三点求解析式

1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是(    )

A．y＝2x2＋x＋2　B．y＝x2＋3x＋2

C．y＝x2－2x＋3  D．y＝x2－3x＋2

2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．

二、已知顶点或对称轴求解析式

3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．

4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．

三、已知抛物线与x轴的交点求解析式

5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为__       ___．

6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．

四、已知几何图形求解析式

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．

五、已知面积求解析式

8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝，求二次函数关系式．

六、已知图形变换求解析式

9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．

(1)求抛物线C1的解析式；

(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．

七、运用根与系数的关系求解析式

10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.

(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；

(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．

22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

专题训练(三)　用待定系数法求二次函数解析式

一、已知三点求解析式

1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( D  )

A．y＝2x2＋x＋2　　　　　　B．y＝x2＋3x＋2

C．y＝x2－2x＋3  D．y＝x2－3x＋2

2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．

解：将点A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c得

解得

所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3

二、已知顶点或对称轴求解析式

3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．

解：∵二次函数的图象顶点为A(1，－4)，∴设y＝a(x－1)2－4，将点B(3，0)代入得a＝1，故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3

4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．

解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A(1，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把(0，3)代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3

三、已知抛物线与x轴的交点求解析式

5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为__y＝2x2＋2x－4___．

6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．

解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3

四、已知几何图形求解析式

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．

解：由题意，得

C(0，2)，B(2，2)，

∴

解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2

五、已知面积求解析式

8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝，求二次函数关系式．

解：易求直线AB的解析式为y＝－x＋4，∵S△AOP＝，∴×4×yp＝，∴yp＝，∴＝－x＋4，解得x＝，把点P的坐标(，)代入y＝ax2，解得a＝，∴y＝x2

六、已知图形变换求解析式

9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．

(1)求抛物线C1的解析式；

(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．

解：(1)y＝x2－2x－3

(2)抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)，即y＝x2＋4x

七、运用根与系数的关系求解析式

10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.

(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；

(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．

解：(1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方得y＝－(x－m)2－m＋2，由此可知，抛物线的顶点坐标是(m，－m＋2)，把x＝m代入y＝－x＋2得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2的顶点

(2)设M，N两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4, 即|x1x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当m2＋m－2＝4时，解得m1＝－3，m2＝2，当m＝2时，可得OM＝ON不合题意，所以m＝－3；当m2＋m－2＝－4时，方程没有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是y＝－x2－6x－4