初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀习题

22．1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

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1．二次函数y＝ax2＋k的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y＝ax2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．

2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2__平移___得到，当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移__k___个单位得y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下___平移|k|个单位得y＝ax2＋k.

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知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．抛物线y＝2x2＋2的对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线y＝2x2的形状__相同___．

2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下___，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，－2)___．

3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－x2＋1的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为__y1＜y2___．

4．对于二次函数y＝x2＋1，当x＝__0___时，y最__小___＝__1___；当x__＞0___时，y随x的增大而减小；当x__＜0___时，y随x的增大而增大．

5．已知二次函数y＝－x2＋4.

(1)当x为何值时，y随x的增大而减小？

(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

(4)求图象与x轴、y轴的交点坐标．

解：(1)x＞0　(2)x＜0　(3)x＝0时，y最大＝4

(4)与x轴交于(－2，0)，(2，0)，与y轴交于(0，4)

   知识点2：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移

6．将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y＝x2＋1___．

7．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝__－3___，c＝__4___．

8．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？

解：(1)图象略，y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；y＝x2－1开口向上，对轴轴为y轴，顶点坐标(0，－1)　(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位得到

知识点3：抛物线y＝ax2＋k的应用

9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B  )

A．3.5 m　　　　　　　　　　B．4 m

C．4.5 m  D．4.6 m

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10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C  )

A．y＝(x－1)2＋2  B．y＝(x＋1)2＋2

C．y＝x2＋1  D．y＝x2＋3

11．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A  )

A．a＞0　　B．a＜0　　C．a≥0　　D．a≤0

12．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为__2___．

13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4___，c＝__－3___．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长度为__6___．

15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：

(1)经过点(－3，2)；

(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反；

(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

解：(1)y＝x2－1

(2)y＝－x2－1

(3)－x2－1

16．把y＝－x2的图象向上平移2个单位．

(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

(2)画出平移后的函数图象；

(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．

解：(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴　(2)图象略　(3)x＝0时，y有最大值，为2

    17．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．

解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k，得k＝2，a＝1，∴y＝x2＋2

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18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( D  )

A．a＋c　　　B．a－c　　　C．－c　　　D．c

19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(≈2.24，结果精确到1米)

解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－x2＋10，解得x＝4或x＝－4，EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为18米

22．1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

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1．二次函数y＝ax2＋k的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y＝ax2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．

2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2__平移___得到，当k＞0时，抛物线y＝ax2向上平移__k___个单位得y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下___平移|k|个单位得y＝ax2＋k.

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知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．抛物线y＝2x2＋2的对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线y＝2x2的形状__相同___．

2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下___，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__(0，－2)___．

3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－x2＋1的图象上，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为__y1＜y2___．

4．对于二次函数y＝x2＋1，当x＝__0___时，y最__小___＝__1___；当x__＞0___时，y随x的增大而减小；当x__＜0___时，y随x的增大而增大．

5．已知二次函数y＝－x2＋4.

(1)当x为何值时，y随x的增大而减小？

(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

(4)求图象与x轴、y轴的交点坐标．

解：(1)x＞0　(2)x＜0　(3)x＝0时，y最大＝4

(4)与x轴交于(－2，0)，(2，0)，与y轴交于(0，4)

   知识点2：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移

6．将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y＝x2＋1___．

7．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝__－3___，c＝__4___．

8．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？

解：(1)图象略，y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；y＝x2－1开口向上，对轴轴为y轴，顶点坐标(0，－1)　(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位得到

知识点3：抛物线y＝ax2＋k的应用

9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B  )

A．3.5 m　　　　　　　　　　B．4 m

C．4.5 m  D．4.6 m

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10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C  )

A．y＝(x－1)2＋2  B．y＝(x＋1)2＋2

C．y＝x2＋1  D．y＝x2＋3

11．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A  )

A．a＞0　　B．a＜0　　C．a≥0　　D．a≤0

12．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为__2___．

13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4___，c＝__－3___．

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长度为__6___．

15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：

(1)经过点(－3，2)；

(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反；

(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

解：(1)y＝x2－1

(2)y＝－x2－1

(3)－x2－1

16．把y＝－x2的图象向上平移2个单位．

(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

(2)画出平移后的函数图象；

(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．

解：(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴　(2)图象略　(3)x＝0时，y有最大值，为2

    17．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．

解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k，得k＝2，a＝1，∴y＝x2＋2

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18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( D  )

A．a＋c　　　B．a－c　　　C．－c　　　D．c

19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(≈2.24，结果精确到1米)

解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－x2＋10，解得x＝4或x＝－4，EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为18米