人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀第2课时同步练习题

22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式

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用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：

(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__         __．

(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__            __．以下有三种特殊情况：

①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__     __；

②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__       __；

③当已知抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为__      __，其中(h，0)为抛物线与x轴的交点坐标．

(3)交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__       __．

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知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式

1．由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是(    )

A.y＝x2－4x＋3　B．y＝x2－3x＋4

C．y＝x2－3x＋3　D．y＝x2－4x＋8

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为__         ___．

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．

知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式

4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(    )

A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8

C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8

5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．

知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式

6．如图，抛物线的函数表达式是(    )

A．y＝x2－x＋4 B．y＝－x2－x＋4

C．y＝x2＋x＋4 D．y＝－x2＋x＋4

7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．

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8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(    )

A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x＋2

C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2＋x＋2

9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是(    )

A．b＝2，c＝4　　B．b＝2，c＝－4

C．b＝－2，c＝4  D．b＝－2，c＝－4

10．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是__   _      _．(填序号)

①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；

②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；

③抛物线的对称轴是x＝0.5；

④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__ _              _．

12．将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象沿x轴对折后得到的图象的解析式为__    _   _         ．

13．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__       __．

14．已知二次函数的图象的对称轴为x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．

15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．

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16．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

 22．1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式

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用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：

(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝ax2＋bx＋c___．

(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝a(x－h)2＋k___．以下有三种特殊情况：

①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y＝ax2___；

②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__y＝ax2＋c___；

③当已知抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－h)2___，其中(h，0)为抛物线与x轴的交点坐标．

(3)交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－x1)(x－x2)___．

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知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式

1．由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( A  )

A.y＝x2－4x＋3　B．y＝x2－3x＋4

C．y＝x2－3x＋3　D．y＝x2－4x＋8

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为__y＝x2－x－2___．

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．

解：由题意，得解得∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1

知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式

4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( D  )

A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8

C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8

5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．

解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入得3＝a(0－4)2－1，解得a＝，∴y＝(x－4)2－1

知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式

6．如图，抛物线的函数表达式是( D  )

A．y＝x2－x＋4 B．y＝－x2－x＋4

C．y＝x2＋x＋4 D．y＝－x2＋x＋4

7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．

解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2)代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
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8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( D  )

A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x＋2

C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2＋x＋2

9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( D  )

A．b＝2，c＝4　　B．b＝2，c＝－4

C．b＝－2，c＝4  D．b＝－2，c＝－4

10．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是__①③④___．(填序号)

①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；

②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；

③抛物线的对称轴是x＝0.5；

④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__y＝x2－2x－3___．

12．将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象沿x轴对折后得到的图象的解析式为__y＝－(x－1)2－2___．

13．(2014·杭州)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2___．

14．已知二次函数的图象的对称轴为x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．

解：由题意设y＝a(x－1)2－6，∵图象经过点(2，－8)，∴－8＝a(2－1)2－6，解得a＝－2，∴y＝－2(x－1)2－6，即y＝－2x2＋4x－8

15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．

解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，∴c＝3，∴解得∴y＝－x2－2x＋3　(2)∵当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴与x轴的交点为(－3，0)，(1，0)，∴AB＝4，则S△PAB＝×4×3＝6

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16．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

解：(1)答案不唯一，符合题意即可，如y1＝2x2，y2＝x2　(2)∵函数y1的图象经过点A(1，1)，则2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，∴y1＝2x2－4x＋3，即y1＝2(x－1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k＞0)，则y2＝k(x－1)2＋1－y1，∴y2＝(k－2)(x－1)2.由题意可知函数y2的图象经过点(0，5)，则(k－2)×12＝5，∴k－2＝5，∴y2＝5(x－1)2，即y2＝5x2－10x＋5.当0≤x≤3时，根据y2的函数解析式可知，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20