第三章函数及其图象第六节二次函数的综合应用 试卷

第六节　二次函数的综合应用

姓名：________　班级：________　

1．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________________________．

(第1题)           (第2题)

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．

3．某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)设AB＝x m(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；

(2)请你判断谁的说法正确，为什么？

4.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数表达式为

y＝且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润＝销售收入－成本)．

(1)m＝________，n＝________；

(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

5．一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(     )

A．无实数根

B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3

D．有两个正根，且有一根大于3

6．如图，已知直线y＝－x＋3分别交x轴、y轴于点A，B，P是抛物线y＝－x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x＋3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是__________________________．

7．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．

(1)求原抛物线的函数表达式；

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)．

8．如图所示，顶点为(，－)的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k＞0)图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

参考答案

【基础训练】

1．x1＝－2，x2＝1　2.－2

3．解：(1)AB＝x m，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)m.

(2)小英说法正确，理由如下：

矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，

∵72－2x>0，

∴x<36，∴0<x<36.

∴当x＝18时，S取最大值，

此时x≠72－2x，

∴面积最大的不是正方形．

4．解：(1)第12天的售价为32元/千克，代入y＝mx－76m，得32＝12m－76m，

解得m＝－.

第26天的售价为25元/千克，代入y＝n，

则n＝25，

故答案为m＝－，n＝25.

(2)由题意知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，

当1≤x＜20时，

W＝(4x＋16)(－x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968，

∴当x＝18时，W最大＝968元．

当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112.

∵28＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x＝30时，W最大＝952元．

∵968＞952，

∴当x＝18时，W最大＝968元．

(3)当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，

解得x1＝25，x2＝11.

∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，

∴11≤x≤25时，W≥870.

又∵11≤x＜20，x为正整数，

∴有9天利润不低于870元，

当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，

解得x≥27.

∴27≤x≤30.

∵x为正整数，

∴有3天利润不低于870元．

∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．

【拔高训练】

5．D　6.－1，4，4＋2，4－2

7．解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，

∴点P的坐标为(1，－3)．

设原抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－3，∵其过点A(1－，0)，

∴0＝a(1－－1)2－3，解得a＝1.

∴原抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.

(2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，

∴C，D两点纵坐标均为3.

由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－，x2＝1＋，

∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，∴CD＝2.

∴“W”图案的高与宽(CD)的比为＝(或约等于0.612)．

【培优训练】

8．解：(1)依题意可设抛物线的表达式为

y＝a(x－)2－(a≠0)，

将点M(2，0)代入可得a(2－)2－＝0，

解得a＝1.故抛物线的表达式为y＝(x－)2－.

(2)由(1)知，抛物线的表达式为y＝(x－)2－，

其对称轴为x＝，

∴点A与点M(2，0)关于直线x＝对称，∴A(－1，0)．

令x＝0，则y＝－2，

∴B(0，－2)．

在Rt△OAB中，OA＝1，OB＝2，则AB＝.

设直线y＝x＋1与y轴交于点G，

易求G(0，1)．

∴△AOG是等腰直角三角形，

∴∠AGO＝45°.

∵点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，而k＞0，∴反比例函数y＝(k＞0)的图象位于第一、三象限．

故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：

①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DN⊥y轴于点N，

在Rt△BDN中，∵∠DBN＝∠AGO＝45°，

∴DN＝BN＝＝，

∴D(－，－－2)．

∵点D在反比例函数y＝(k＞0)图象上，

∴k＝－×(－－2)＝＋.

②此菱形以AB为对角线，如图2，

作AB的垂直平分线CD交直线y＝x＋1于点C，交反比例函数y＝(k＞0)的图象于点D.

再分别过点D，B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相交于点E.

在Rt△BDE中，同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45°，

∴BE＝DE.

可设点D的坐标为(x，x－2)．

∵BE2＋DE2＝BD2，

∴BD＝BE＝x.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BD＝x.

∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，

即(x)＝(x＋1)2＋(x－2)2，

解得x＝，

∴点D的坐标是(，)．

∵点D在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，

∴k＝×＝，

综上所述，k的值是＋或.