第九章解直角三角形第二节解直角三角形及其应用 试卷

第二节　解直角三角形及其应用

姓名：________　班级：________　

1．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(     )

A．40海里    B．60海里

C．20海里  D．40海里

(第1题)         (第2题)

2.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度为(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.6)(     )

A．12.6米   B．13.1米

C．14.7米    D．16.3米

3．一个小球由地面沿着坡度1∶2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为________米．

4．如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是______km.

(第3题)         (第4题)

5．如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为_____米(结果保留根号)．

6．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．

(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

7．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8 m，PD＝2 m，CF＝1 m，∠DPE＝20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合(图2)．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．

(1)上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°(图3)，为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？(结果精确到0.1 m)

(2)中午12：00时，太阳光线与地面垂直(图4)，为使遮阳效果最佳，点P在(1)的基础上还需上调多少距离？(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.41，≈1.73)

8．问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan ∠CPN的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，

比如连结格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连结DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

问题解决

(1)直接写出图1中tan ∠CPN的值为________；

(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos ∠CPN的值；

思维拓展

(3)如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连结AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

9．随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图2.求保温板AC的长是多少米？(精确到0.1米)

(参考数据：≈0.86，sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16，sin 15.6°≈0.27，cos 15.6°≈0.96，tan 15.6°≈0.28)

10．(2018·江苏连云港中考)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i(即tan ∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14 m.

(1)求坝高；

(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)

参考答案

【基础训练】

1．D　2.B　3.2　4.　5.100＋100

6．解：由题意得∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80(海里)，

在直角三角形ACD中，CD＝AC·cos∠ACD＝27.2(海里)，

在直角三角形BCD中，BD＝CD·tan∠BCD＝20.4(海里)．

答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．

7．解：(1)如题图2，当P位于初始位置时，CP0＝2 m，

如题图3，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1.

∵∠BEP1＝90°，∠CAB＝90°，∠ABE＝65°，∴∠AP1E＝115°，

∴∠CP1E＝65°，

∵∠DP1E＝20°，∴∠CP1F＝45°，

∵CF＝P1F＝1 m，∴∠C＝∠CP1F＝45°，

∴△CP1F是等腰直角三角形，

∴P1C＝ m，

∴P0P1＝CP0－P1C＝2－≈0.6 m，

即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6 m.

(2)解：如图，中午12：00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2处，

∴P2E∥AB.

∵∠CAB＝90°，∴∠CP2E＝90°，

∵∠DP2E＝20°，

∴∠CP2F＝∠CP2E－∠DP2E＝70°，

∵CF＝P2F＝1 m，得△CP2F为等腰三角形，

∴∠C＝∠CP2F＝70°.

过点F作FG⊥CP2于点G，

∴GP2＝P2F·cos 70°＝0.34 m，

∴CP2＝0.68 m，∴P1P2≈0.7 m，

即点P在(1)的基础上还需上调0.7 m.

【拔高训练】

8．解：(1)2

(2)如图，取格点D，连结CD，DM.

∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM.

∵△DCM是等腰直角三角形，

∴∠DCM＝∠D＝45°，

∴cos ∠CPN＝cos ∠DCM＝.

(3)如图，如图取格点F，连结AF，FN.

∵PC∥FN，∴∠CPN＝∠ANF.

∵AF＝FN，∠AFN＝90°，

∴∠ANF＝∠FAN＝45°.

∴∠CPN＝45°.

9．解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，

则四边形ABEF是矩形，

∴AB＝EF，AF＝BE，

设AF＝x，

∵∠BAC＝150°，∠BAF＝90°，

∴∠CAF＝60°，

则AC＝＝2x，CF＝AFtan∠CAF＝x，

在Rt△ABD中，

∵AB＝EF＝2，∠ADB＝9°，

∴BD＝＝，

则DE＝BD－BE＝－x，CE＝EF＋CF＝2＋x，

在Rt△CDE中，∵tan∠CDE＝，

∴tan 15.6°＝，

解得x≈0.75，

则2x＝1.5，即AC＝1.5米，

即保温板AC的长约是1.5米．

【培优训练】

10．解：(1)如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N.

由题意tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x.

∵四边形DMNC是矩形，

∴DM＝CN＝2x.

在Rt△NBC中，tan 37°＝＝＝，

∴BN＝x.

∵x＋3＋x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，

∴坝高为6 m.

(2)如图，过F点作FH⊥AB于H，过D点作DM⊥AB于M.

设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3＋2y－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3＋y)＝11＋y.

由△EFH∽△FBH，可得＝，

即＝，

解得y＝－7＋2或－7－2(舍弃)，

∴DF＝2－7.

答：DF的长为(2－7)m.