第三章函数及其图象第五节二次函数的图象与性质 试卷

第五节　二次函数的图象与性质

姓名：________　班级：________　

1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(     )

A．y＝(x＋1)2＋4  B．y＝(x＋1)2＋2

C．y＝(x－1)2＋4  D．y＝(x－1)2＋2

2．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是(     )

A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位

C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(     )

A．ac＜0        B．b＜0

C．b2－4ac＜0   D．a＋b＋c＜0

(第3题)    (第4题)    (第7题)

4．如图是一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．

5．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．

6．已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a－b为整数时，ab的值为(     )

A.或1   B.或1  C.或  D.或

7.如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2＋bx图象的顶点(－，m)(m>0)，则有(     )

A．a＝b＋2k    B．a＝b－2k

C．k<b<0       D．a<k<0

8．如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(     )

9．设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．

(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；

(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.

10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m，n)．给出下列结论：

①2a＋c＜0；

②若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；

③关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；

④当n＝－时，△ABP为等腰直角三角形．

其中正确结论是________(填写序号)．

参考答案

【基础训练】

1．D　2.D　3.B

4．y＝－(x＋6)2＋4　5.y＝x2＋8x＋14

【拔高训练】

6．A　7.D　8.B

9．解：(1)由题意知Δ＝b2－4a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，

∴该二次函数图象与x轴的交点的个数有2个或1个．

(2)当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0

∴该二次函数图象不经过点C.

把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得

解得

∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.

(3)证明：当x＝2时，

m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0，①

∵a＋b＜0，∴－a－b＞0.②

①＋②得2a＞0，∴a＞0.

10．解：(1)由题意得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.

(2)方法1：如图1，过点P作PG∥CF交CB于点G，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，

∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形，

∴EF＝CF＝(3－m)，PE＝PG.

设xP＝t(1<t<3)，

则PE＝PG＝(－t＋3－t－m)

＝(－m－2t＋3)，t2－4t＋3＝t＋m，

∴PE＋EF＝(－m－2t＋3)＋(3－m)＝(－2t－2m＋6)＝－(t＋m－3)＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4，

∴当t＝2时，PE＋EF的最大值为4.

方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，

∴∠OCB＝45°.

同理可知∠OFE＝45°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于点H，则PE＋EF＝PF′＝PH.

又PH＝yC－yP＝3－yP，

∴当yP最小时，PE＋EF取最大值，

∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，

∴当yP＝－1时，(PE＋EF)max＝×(3＋1)＝4.

(3)①由(1)知对称轴x＝2，设D(2，n)，如图3.

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在BC上方D1位置时，由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，

即(2－0)2＋(n－3)2＋(3)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在BC下方D2位置时，由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2，

即(2－3)2＋(n－0)2＋(3)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.

∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．

②如图4，以BC的中点T(，)，BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，

由直径所对的圆周角是直角，得∠CD3B＝∠CD4B＝90°.

设D(2，m)，由DT＝BC＝得

(－2)2＋(－m)2＝()2，

解得m＝±，

∴D3(2，＋)，D4(2，－)．

又由①得D1为(2，5)，D2(2，－1)，

∴若△BCD是锐角三角形，D点在线段D1D3或D2D4上时(不与端点重合)，则点D的纵坐标的取值范围是－1<yD<－或＋<yD<5.

【培优训练】

11．②④