第四章几何初步与三角形第四节等腰三角形 试卷

第四节　等腰三角形

姓名：________　班级：________　

1．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD.若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C＝(     )

A．70°  B．60°  C．50°  D．40°

(第1题)    (第2题)   (第4题)

2．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(     )

A．(1，1)    B．(，1)

C．(，)   D．(1，)

3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(     )

A．4个   B．3个  C．2个   D．1个

4. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝，AD＝，则两个三角形重叠部分的面积为(     )

A.   B．3－

C.－1   D．3－

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.

其中正确的结论是(     )

A．①②③  B．①②④

C．②③④  D．①③④

(第5题)       (第7题)

6．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝______cm.

8．(已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．

9.如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.

(1)求证：△ABE≌△ACF；

(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.

10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为(     )

A．2  B．2  C.  D．3

(第10题)       (第11题)

11．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(     )

A．44° B．66° C．88° D．92°

12．在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有(     )

A．1种  B．2种  C．3种  D．4种

(第12题)           (第13题)

13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝_____.

14．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnAn＋1Cn的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)

15．数学课上，张老师举了下面的例题：

例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)

例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．

(1)请你解答以上的变式题；

(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

16.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．

(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.求证：△BCD的面积为a2；(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)

(2)探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；

(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．

17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为________．

参考答案

【基础训练】

1．C　2.D　3.B　4.D　5.A

6．50°或80°　7.6

8．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，

∴∠AED＝∠CFD＝90°.

∵D为AC的中点，∴AD＝DC.

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

∵

∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，

∴BA＝BC，

∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形．

9．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF.

在△ABE和△ACF中，∵

∴△ABE≌△ACF(SAS)．

(2)75

【拔高训练】

10．C　11.D　12.C

13．72°　14.()2n－2×

15．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.

故∠B＝50°或20°或80°.

(2)分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，

∴∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时，

若∠A为顶角，则∠B＝()°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.

当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，

即x≠60时，∠B有三个不同的度数．

综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．

16．(1)证明：过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，

∴∠BED＝∠ACB＝90°.

由旋转知AB＝BD，∠ABD＝90°，

∴∠ABC＋∠DBE＝90°.

又∵∠A＋∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DBE.

在△ABC和△BDE中，

∵

∴△ABC≌△BDE(AAS)，

∴DE＝a＝BC，

∴S△BCD＝BC·DE＝a2.

(2)解：过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°.

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，

∴AB＝BD，∠ABD＝90°.

∴∠ABC＋∠DBE＝90°.

∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE.

在△ABC和△BDE中，

∵

∴△ABC≌△BDE(AAS)，

∴BC＝DE＝a.

∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2.

(3)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，

∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a.

∴∠FAB＋∠ABF＝90°.

∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD.

∵线段BD是由线段AB旋转得到的，

∴AB＝BD.

在△AFB和△BED中，

∵

∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE＝a.

∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a·a＝a2.

∴△BCD的面积为a2.

【培优训练】

17．30