第五章四边形第三节矩形菱形和正方形 试卷

第三节　矩形、菱形和正方形

姓名：________　班级：________　

1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(     )

A．∠A＝∠B  B．∠A＝∠C

C．AC＝BD    D．AB⊥BC

2．下列说法，正确的有(     )

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

3.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(     ) 

A．31° B．28° C．62° D．56°

(第3题)       (第5题)

4．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是______．

5．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．

6．在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.

(1)求证：DF＝AB；

(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.

7．在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.

【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)

【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：

(1)BE＝FG；

(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为 2 .

【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________．

8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为(     )

A．20   B．24  C.   D.

(第8题)     (第9题)

9．如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是__________．

10．小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.

(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．

(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．

(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．

11．(2018·浙江金华中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.

(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．

①若点G为DE的中点，求FG的长．

②若DG＝GF，求BC的长．

(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

参考答案

【基础训练】

1．B　2.C　3.D　4.2　5.

6．(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠DAF，

又∵DF⊥AE，

∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B，

又∵AD＝EA，

∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.

(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，

∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，

∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.

7．解：【感知】 ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°.

∵AF⊥BE，

∴∠ABE＋∠BAF＝90°，

∴∠BAF＝∠CBE.

在△ABF和△BCE中，

∴△ABF≌△BCE(ASA)．

【探究】 证明：(1)如图，过点G作GP⊥BC于P.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABPG是矩形，

∴PG＝AB，∴PG＝BC.

同感知的方法得∠PGF＝∠CBE，

在△PGF和△CBE中，

∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.

(2)由(1)知，FG＝BE，

如图，连结CM.

∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，

∴BE＝2CM＝2，∴FG＝2.

【应用】 9

【拔高训练】

8．B　9.3－3

10．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.

∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°，

∴∠AEC＋∠AFC＝180°.

∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.

(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.

(3)解：答案不唯一．已知：AB＝4，∠B＝60°，

求四边形APCQ的面积．

解：如图，连结AC，BD交于O.

∵∠ABC＝60°，BA＝BC，

∴△ABC为等边三角形．

∵AE⊥BC，∴BE＝EC.

同理，CF＝FD，

∴四边形AECF的面积＝×四边形ABCD的面积，

由(2)得四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，

OA＝AB＝2，OB＝AB＝2，

∴四边形ABCD的面积＝×2×2×4＝8，

∴四边形APCQ的面积＝4.

【培优训练】

11．解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6.

在Rt△AEG中，AG＝＝6.

∵EG∥AC，

∴△ACF∽△GEF，∴＝，

∴＝＝，

∴FG＝AG＝2.

②如图1中，正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.

图1

∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，

∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.

∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.

∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.

在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，

∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，

解得x＝30°，

∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，

BC＝＝12.

(2)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15.

如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.

图2

∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.

设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，

∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.

∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，

∴＝，∴＝，

整理得x2－6x＋5＝0，

解得x＝1或5(舍去)，

∴腰长GD＝4x＝4.

如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，

图3

此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，

∴FG＝DG＝12＋4x.

∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，

∴＝，∴＝，

解得x＝2或－2(舍去)，

∴腰长DG＝4x＋12＝20.

如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，

图4

此时只有DF＝DG，连结DF，过点D作DH⊥FG.

设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12，

∴FH＝GH＝DG·cos ∠DGB＝(4x＋12)×＝，

∴GF＝2GH＝，∴AF＝GF－AG＝.

∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，

∴＝，∴＝，

解得x＝或－(舍去)．

∴腰长GD＝4x＋12＝.

如图5中，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF＝DG，作DH⊥AG于H.

图5

设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12，

∴FH＝GH＝DG·cos ∠DGB＝，

∴FG＝2FH＝，

∴AF＝AG－FG＝.

∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，

∴＝，∴＝，

解得x＝或－(舍去)，

∴腰长DG＝4x－12＝.

综上所述，等腰△DFG的腰长为4或20或或.