第四章几何初步与三角形第五节直角三角形与勾股定理 试卷

第五节　直角三角形与勾股定理

姓名：________　班级：________　

1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB1C1，连结BC1，则BC1的长为(     )

A．6   B．8  C．10  D．12

(第1题)       (第3题)

2．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是(     )

A．一锐角对应相等  B．两锐角对应相等

C．一条边对应相等  D．两条直角边对应相等

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为(     )

A．6   B．4   C．7   D．12

4．(2018·山东德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为______．

(第4题)       (第5题)   (第6题)

5．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_________________米(结果保留根号)．

6．如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________.

7．)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为_________．

8．下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；

(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；

(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；

(4)画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．

9．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为(     )

A．5    B．6    C．7    D．8

10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(     )

A．90  B．100  C．110  D．121

  (第10题)           (第12题)

11．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.

13.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A，B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12 cm.

(1)若OB＝6 cm，

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

(2)点C与点O的距离的最大值＝________cm.

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB，AC，BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________．

15．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设＝k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比．

(1)如图1，过B，C分别作中线AM的垂线，垂足为E，D.求证：CD＝BE.

(2)①如图2，当k＝1，且AB＝AC时，AB2＋AC2＝________BC2(填一个恰当的数)．

②如图1，当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；

③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k的表达式直接表示AB2＋AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．

参考答案

【基础训练】

1．C　2.D　3.A　4.3　5.1 200(－1)

6．0<CD≤5　7.2或2

8．解：(1)如图(1)所示．

(2)如图(2)所示．

(3)如图(3)所示．

(4)如图(4)所示．

【拔高训练】

9．C　10.C

11．15或10　12.

13．解：(1)①如图，过点C作y轴的垂线，垂足为点D，在Rt△AOB中，AB＝12，则BC＝6.

∵OB＝6＝BC，AB＝AB，

∴Rt△ABC≌Rt△ABO，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°.

又∵∠CBA＝60°，

∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，

∴BD＝3，CD＝3，

∴OD＝BD＋OB＝3＋6＝9，

∴点C的坐标为(－3，9)．

②如图，设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x.

∴AO＝AB·cos∠BAO＝12×cos 30°＝6.

∴A′O＝6－x，

B′O＝6＋x，A′B′＝AB＝12.

在△A′OB′中，由勾股定理，得

(6－x)2＋(6＋x)2＝122，

解得x1＝0(舍去)，x2＝6(－1)．

∴滑动的距离为6(－1)cm.

(2)12

【培优训练】

14．18

15．(1)证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.

∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，

∴∠E＝∠CDM＝90°.

在△BME和△CMD中，

∴△BME≌△CMD(AAS)，∴CD＝BE.

(2)①AB2＋AC2＝2.5BC2

②结论仍然成立．

设EM＝DM＝a，则AE＝AM＋a，AD＝AM－a.

在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝(AM＋a)2＋BE2＝AM2＋2AM·a＋a2＋BE2，

在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝(AM－a)2＋CD2＝AM2－2AM·a＋a2＋CD2，

∴AB2＋AC2＝2AM2＋(a2＋BE2)＋(a2＋CD2)．

∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，

∴∠E＝∠CDM＝90°，

∴a2＋BE2＝BM2＝BC2，a2＋CD2＝CM2＝BC2，

∴AB2＋AC2＝2AM2＋BC2.

∵＝1，∴AP＝PM.

∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线，

∴PM＝BC.

若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP＋PM＝PM＋PM＝2PM＝BC，

∴AB2＋AC2＝2BC2＋BC2＝BC2，

即AB2＋AC2＝2.5BC2.

③结论：锐角三角形：AB2＋AC2＝BC2，

钝角三角形：AB2＋AC2＝BC2.