2021年九年级中考数学一轮复习 13 二次函数的综合与应用（通用版）

这是一份2021年九年级中考数学一轮复习 13 二次函数的综合与应用（通用版），共13页。

　二次函数的综合与应用
命题点1　二次函数的实际应用
1．(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
2．(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位： m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：

第2题图
①小球在空中经过的路程是40 m；
②小球抛出3 s后，速度越来越快；
③小球抛出3 s时速度为0；
④当小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.
其中正确的是( )
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
3．(2019·连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )

第3题图
A．18 m2 B．18 m2
C．24 m2 D． m2
4．(2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为_________.
5．(2020·营口)某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶)．
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
6．(2020·成都)在“新型冠状病毒肺炎”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x/(元/件)
12
13
14
15
16
y/件
1 200
1 100
1 000
900
800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
命题点2　二次函数与几何的综合
7．(2020·枣庄) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.

第7题图
(1)求抛物线的表达式．
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为N.设点M的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．(2020·滨州)如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0，－)，点F(2,1)为其对称轴上的一个定点．

第8题图
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
(3)已知坐标平面内的点D(4,3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
9．(2020·菏泽)如图，抛物线y＝ax2＋bx－6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；

第9题图
(3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

10．(2020·铜仁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6经过两点A(－1,0)，B(3,0)，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值；

第10题图
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

　























二次函数的综合与应用（答案）
命题点1　二次函数的实际应用
1．(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m B．22.5 m
C．21.5 m D．20.5 m
2．(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位： m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：

第2题图
①小球在空中经过的路程是40 m；
②小球抛出3 s后，速度越来越快；
③小球抛出3 s时速度为0；
④当小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.
其中正确的是( D )
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
3．(2019·连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( C )

第3题图
A．18 m2 B．18 m2
C．24 m2 D． m2
4．(2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为3.75min.
5．(2020·营口)某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶)．
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
解：(1)由题意得y＝80＋20×，
∴y＝－40x＋880.
(2)设每天的销售利润为w元，则w＝(－40x＋880)(x－16)＝－40(x－19)2＋360.
∵a＝－40<0，
∴二次函数的图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
6．(2020·成都)在“新型冠状病毒肺炎”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x/(元/件)
12
13
14
15
16
y/件
1 200
1 100
1 000
900
800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
解：(1)∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx＋b(k≠0)，
将x＝12，y＝1 200和x＝13，y＝1 100代入，得
解得
∴y与x的函数关系式为y＝－100x＋2 400.
(2)设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400(x－2－10)＋y(x－10)＝400x－4 800＋(－100x＋2 400)(x－10)＝－100(x－19)2＋7 300，
∵a＝－100<0，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7 300元．
答：当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7 300元．
命题点2　二次函数与几何的综合
7．(2020·枣庄) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.

第7题图
(1)求抛物线的表达式．
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为N.设点M的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将点A(－3,0)，B(4,0)代入y＝ax2＋bx＋4，得
解得
故抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.
(2)由抛物线的表达式可知，点C(0,4)，
由点B，C的坐标得，直线BC的解析式为y＝－x＋4.∵M(m,0)，
∴P(m，－m2＋m＋4)，Q(m，－m＋4)，
∴PQ＝－m2＋m＋4＋m－4＝－m2＋m.
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQ·sin45°＝(－m2＋m)＝－(m－2)2＋.
∵－<0，∴当m＝2时，PN有最大值，最大值为.
(3)存在．
∵点A，C的坐标分别为(－3,0)，(0,4)，
∴AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，如答图，
则CQ2＝CE2＋EQ2，即m2＋[4－(－m＋4)]2＝25，

第7题答图
解得m＝±(舍去负值)，故Q(，)；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得[m－(－3)]2＋(－m＋4)2＝25，解得m＝1或0(舍去)，故Q(1,3)；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m－(－3)]2＋(－m＋4)2，解得m＝(舍去)．
综上所述，点Q的坐标为(1,3)或(，)．
8．(2020·滨州)如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0，－)，点F(2,1)为其对称轴上的一个定点．

第8题图
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
(3)已知坐标平面内的点D(4,3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
(1)解：由题意知，抛物线的顶点为A(2，－1)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵抛物线经过B(0，－)，
∴－＝4a－1，∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1.
(2)证明：∵P(m，n)，
∴n＝(m－2)2－1＝m2－m－，
∴P(m，m2－m－)，
∴d＝m2－m－－(－3)＝m2－m＋.
∵F(2,1)，
∴PF＝＝.
∵d2＝m4－m3＋m2－m＋，PF2＝m4－m3＋m2－m＋，
∴d2＝PF2，∴PF＝d.
(3)解：如答图，过点Q作QH⊥直线l于点H，过点D作DN⊥直线l于点N.

第8题答图
∵△DFQ的周长为DF＋DQ＋FQ，DF是定值，长为＝2，
∴当DQ＋QF的值最小时，△DFQ的周长最小．
由(2)知，QF＝QH，∴DQ＋QF＝DQ＋QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H三点共线时，DQ＋QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ＋QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为2＋6，此时Q(4，－)．
9．(2020·菏泽)如图，抛物线y＝ax2＋bx－6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；

第9题图
(3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵OA＝2，OB＝4，
∴A(－2,0)，B(4,0)．
把A(－2,0)，B(4,0)代入y＝ax2＋bx－6，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－6.
(2)如答图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点H.
当x＝0时，y＝－6.
∴C(0，－6)，
设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴直线BC的表达式为y＝x－6.
设D(x，x2－x－6)，则H(x，x－6)，
∴DH＝x－6－(x2－x－6)＝－x2＋3x.
∵△BCD的面积是，∴DH·OB＝，
∴×4×(－x2＋3x)＝，
解得x＝1或3.
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D(3，－)，
∴S△ABD＝AB·DG＝×6×＝.
(3)存在．分两种情况：
①如答图2，当点N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形．
∵B(4,0)，D(3，－)，且点M在x轴上，
∴点N的纵坐标为，
当y＝时，即x2－x－6＝，
解得x＝1＋或1－，
∴点N的坐标为(1－，)或(1＋，)；
②如答图3，当点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时点M与点O重合，
∴点N的坐标为(－1，－)．
综上所述，点N的坐标为(1－，)或(1＋，)或(－1，－)．

第9题答图
10．(2020·铜仁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6经过两点A(－1,0)，B(3,0)，C是抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值；

第10题图
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
解：(1)将A(－1,0)，B(3,0)代入y＝ax2＋bx＋6，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋4x＋6.
(2)过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如答图1.
当x＝0时，y＝－2x2＋4x＋6＝6，
∴点C的坐标为(0,6)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)，
将B(3,0)，C(0,6)代入y＝kx＋c，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋6.
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为(m，－2m2＋4m＋6)(0 ∴PF＝－2m2＋4m＋6－(－2m＋6)＝－2m2＋6m，
∴S＝PF·OB＝－3m2＋9m＝－3(m－)2＋.
∵－3<0且0<<3，
∴当m＝时，S取最大值，最大值为.

图1 图2 　图3
第10题答图
(3)存在点M，点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如答图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方时，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M(a，－2a2＋4a＋6)，C(0,6)，
∴DC＝－2a2＋4a，DM＝a，
当＝＝＝时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴＝，解得a＝1，
∴M(1,8)，
此时ND＝DM＝，
∴N(0，)；
当＝＝时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴＝，解得a＝，
∴M(，)，∴N(0，)；
如答图3，当点M位于点C的下方时，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M(a，－2a2＋4a＋6)，C(0,6)，
∴EC＝2a2－4a，EM＝a，
同理可得＝或＝2，解得a＝或a＝3，△CMN与△OBC相似，
∴M(，)或M(3,0)，
此时N点坐标为(0，)或(0，－)．
综上所述，存在M(1,8)，N(0，)或M(，)，N(0，)或M(，)，N(0，)或M(3,0)，N(0，－)，使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．