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2021年九年级中考数学一轮复习 20 多边形与平行四边形
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这是一份2021年九年级中考数学一轮复习 20 多边形与平行四边形，共22页。试卷主要包含了正十边形的每一个外角的度数为等内容，欢迎下载使用。
20 多边形与平行四边形
基础巩固
1．(2020·无锡)正十边形的每一个外角的度数为( )
A．36° B．30°
C．144° D．150°
2．(2020·衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
第2题图
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．(2020·温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°， AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )
第3题图
A．40° B．50°
C．60° D．70°
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
第4题图
A．28 B．24
C．21 D．14
5．(2020·陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为( )
第5题图
A. B．
C．3 D．2
6．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，则添加一个条件______(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
第6题图
7．(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_______.
第7题图
8．(2020·金华)如图，平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______.
第8题图
9．(2020·黔东南)以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2,1)，则C点坐标为______
第9题图
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，则BC＝______.
第10题图
11．如图，在平行四边形ABCE中，AD⊥CE，∠B＝45°.若AB＝3，CD＝1，四边形ABCE的周长是______
第11题图
12．如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF，DE至点C，A，使得BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．
第12题图
13．(2020·广西北部湾Ⅰ卷)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
第13题图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
14．(2019·沈阳改编)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
第14题图
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，求▱ABCD的面积．
15．如图，在▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
第15题图
16．(2020·孝感)如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H.求证：EG＝FH.
第16题图
16．(2019·贵阳)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．
第16题图 第16题答图
17．(2020·重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
第17题图
能力提升
1．(2020·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE长为( )
第1题图
A．2 B．
C． D．
2．(2020·扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为_____.
第2题图
3．(2020·天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ___ .
第3题图 第4题图
4．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的结论是______.(填正确结论的序号)
5．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝∠DEC，连接CF，DE.
第5题图
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝，求CF的长．
6．如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G.
第6题图
(1)求证：AE⊥DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
7．(2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
第7题图
中考预测
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( )
第1题图
A．20 B．16
C．12 D．8
2．如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为( )
第2题图
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
3．如图，五边形ABCDE是正五边形，△OCD是等边三角形，则∠COB＝____.
第3题图
4．如图，AC，AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是_____.
第4题图
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，
EM⊥BC于点M，EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为4.
6．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
第6题图
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的长．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．
第7题图
多边形与平行四边形
基础巩固
1．(2020·无锡)正十边形的每一个外角的度数为( A )
A．36° B．30°
C．144° D．150°
2．(2020·衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( C )
第2题图
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．(2020·温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°， AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( D )
第3题图
A．40° B．50°
C．60° D．70°
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( D )
第4题图
A．28 B．24
C．21 D．14
5．(2020·陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为( D )
第5题图
A. B．
C．3 D．2
6．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，则添加一个条件AD∥BC(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
第6题图
7．(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°.
第7题图
8．(2020·金华)如图，平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°.
第8题图
9．(2020·黔东南)以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2,1)，则C点坐标为(2，－1).
第9题图
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，则BC＝12.
第10题图
11．如图，在平行四边形ABCE中，AD⊥CE，∠B＝45°.若AB＝3，CD＝1，四边形ABCE的周长是6＋4.
第11题图
12．如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF，DE至点C，A，使得BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．
第12题图
证明：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵DE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD.
∵∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形．
13．(2020·广西北部湾Ⅰ卷)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
第13题图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)由(1)知，△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
14．(2019·沈阳改编)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
第14题图
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，求▱ABCD的面积．
(1)证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：∵CG⊥AB，∴∠G＝90°.
∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形．
∵BC＝4，∴BG＝CG＝4.
∵tan∠CAB＝＝，
∴AG＝10，
∴AB＝AG－BG＝10－4＝6，
∴▱ABCD的面积为AB·CG＝6×4＝24.
15．如图，在▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
第15题图
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵∠DAE＝∠BCF，∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF.
(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF.∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
16．(2020·孝感)如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H.求证：EG＝FH.
第16题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F.
在△BEG与△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(ASA)，∴EG＝FH.
16．(2019·贵阳)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．
第16题图 第16题答图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵DE＝AD，∴DE＝BC．
又∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形．
(2)解：如答图．连接BE.
∵DA＝DB＝2，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝2，
∴∠ABE＝90°，AE＝4.
∵cosA＝＝，∴AB＝1.
∴由勾股定理得BE＝＝.
∴点B到点E的距离为.
17．(2020·重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
第17题图
(1)解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF.
能力提升
1．(2020·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE长为( B )
第1题图
A．2 B．
C． D．
2．(2020·扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9.
第2题图
3．(2020·天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 .
第3题图 第4题图
4．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的结论是①②④.(填正确结论的序号)
5．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝∠DEC，连接CF，DE.
第5题图
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝，求CF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，
∴DE∥CF.
∵AD∥BC，∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)解：如答图，过点D作DM⊥EC于点M，
则∠DMC＝∠DME＝90°.
第5题答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF.
∵tan∠DCB＝＝，
∴设DM＝12x，则CM＝5x，
由勾股定理，得(12x)2＋(5x)2＝132，
解得x＝1(负值舍去)，
即CM＝5，DM＝12.
∵CE＝14，∴EM＝14－5＝9.
在Rt△DME中，由勾股定理，得DE＝＝15.
∵四边形DECF是平行四边形，
∴CF＝DE＝15.
6．如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G.
第6题图
(1)求证：AE⊥DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
(1)证明：∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°.
∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠ADF＋∠DAE＝(∠ADC＋∠DAB)＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AE⊥DF.
第5题答图
(2)解：如答图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，
则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10.
在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，
∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，
∴DC＝FC，AB＝EB.
在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，
∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，
∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，
∴FH＝FE＋EH＝12，
DF＝＝＝8.
7．(2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
第7题图 第7题答图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
(2)解：如答图，过点O作ON∥BC交AB于点N，
则△AON∽△ACB.
∵OA＝OC，∴ON＝BC＝×4＝2，BN＝AB＝×6＝3.
∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，
∴＝，即＝，
解得BE＝1.
中考预测
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( B )
第1题图
A．20 B．16
C．12 D．8
2．如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为( D )
第2题图
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
3．如图，五边形ABCDE是正五边形，△OCD是等边三角形，则∠COB＝66°.
第3题图
4．如图，AC，AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是36°.
第4题图
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，
EM⊥BC于点M，EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为4.
6．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
第6题图
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的长．
(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC.
∵F是AD的中点，
∴DF＝AD.
∵CE＝BC，
∴DF＝CE.
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)解：如答图，过点D作DH⊥BE于点H.
第6题答图
在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE＝60°.
∵AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴CH＝CD＝2，
∴DH＝2.在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝5，∴EH＝3.在Rt△DHE中，根据勾股定理，得DE＝＝.
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．
第7题图
(1)证明：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∴△ADE∽△FCE.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4.
又∵△ADE∽△FCE，∴＝.
∵AD＝6，CF＝2，∴＝，∴DE＝3.
20 多边形与平行四边形
基础巩固
1．(2020·无锡)正十边形的每一个外角的度数为( )
A．36° B．30°
C．144° D．150°
2．(2020·衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
第2题图
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．(2020·温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°， AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )
第3题图
A．40° B．50°
C．60° D．70°
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
第4题图
A．28 B．24
C．21 D．14
5．(2020·陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为( )
第5题图
A. B．
C．3 D．2
6．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，则添加一个条件______(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
第6题图
7．(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_______.
第7题图
8．(2020·金华)如图，平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______.
第8题图
9．(2020·黔东南)以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2,1)，则C点坐标为______
第9题图
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，则BC＝______.
第10题图
11．如图，在平行四边形ABCE中，AD⊥CE，∠B＝45°.若AB＝3，CD＝1，四边形ABCE的周长是______
第11题图
12．如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF，DE至点C，A，使得BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．
第12题图
13．(2020·广西北部湾Ⅰ卷)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
第13题图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
14．(2019·沈阳改编)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
第14题图
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，求▱ABCD的面积．
15．如图，在▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
第15题图
16．(2020·孝感)如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H.求证：EG＝FH.
第16题图
16．(2019·贵阳)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．
第16题图 第16题答图
17．(2020·重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
第17题图
能力提升
1．(2020·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE长为( )
第1题图
A．2 B．
C． D．
2．(2020·扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为_____.
第2题图
3．(2020·天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ___ .
第3题图 第4题图
4．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的结论是______.(填正确结论的序号)
5．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝∠DEC，连接CF，DE.
第5题图
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝，求CF的长．
6．如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G.
第6题图
(1)求证：AE⊥DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
7．(2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
第7题图
中考预测
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( )
第1题图
A．20 B．16
C．12 D．8
2．如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为( )
第2题图
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
3．如图，五边形ABCDE是正五边形，△OCD是等边三角形，则∠COB＝____.
第3题图
4．如图，AC，AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是_____.
第4题图
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，
EM⊥BC于点M，EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为4.
6．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
第6题图
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的长．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．
第7题图
多边形与平行四边形
基础巩固
1．(2020·无锡)正十边形的每一个外角的度数为( A )
A．36° B．30°
C．144° D．150°
2．(2020·衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( C )
第2题图
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．(2020·温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°， AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( D )
第3题图
A．40° B．50°
C．60° D．70°
4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( D )
第4题图
A．28 B．24
C．21 D．14
5．(2020·陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°.连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥AB，则DG的长为( D )
第5题图
A. B．
C．3 D．2
6．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，则添加一个条件AD∥BC(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
第6题图
7．(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°.
第7题图
8．(2020·金华)如图，平移图形M与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°.
第8题图
9．(2020·黔东南)以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2,1)，则C点坐标为(2，－1).
第9题图
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°，则BC＝12.
第10题图
11．如图，在平行四边形ABCE中，AD⊥CE，∠B＝45°.若AB＝3，CD＝1，四边形ABCE的周长是6＋4.
第11题图
12．如图，四边形BEDF是平行四边形，分别延长BF，DE至点C，A，使得BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．
第12题图
证明：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵DE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD.
∵∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形．
13．(2020·广西北部湾Ⅰ卷)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
第13题图
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)由(1)知，△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
14．(2019·沈阳改编)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.
第14题图
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，求▱ABCD的面积．
(1)证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)解：∵CG⊥AB，∴∠G＝90°.
∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形．
∵BC＝4，∴BG＝CG＝4.
∵tan∠CAB＝＝，
∴AG＝10，
∴AB＝AG－BG＝10－4＝6，
∴▱ABCD的面积为AB·CG＝6×4＝24.
15．如图，在▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且∠DAE＝∠BCF，求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
第15题图
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵∠DAE＝∠BCF，∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF.
(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF.∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
16．(2020·孝感)如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H.求证：EG＝FH.
第16题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F.
在△BEG与△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(ASA)，∴EG＝FH.
16．(2019·贵阳)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)若DA＝DB＝2，cosA＝，求点B到点E的距离．
第16题图 第16题答图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵DE＝AD，∴DE＝BC．
又∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形．
(2)解：如答图．连接BE.
∵DA＝DB＝2，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝2，
∴∠ABE＝90°，AE＝4.
∵cosA＝＝，∴AB＝1.
∴由勾股定理得BE＝＝.
∴点B到点E的距离为.
17．(2020·重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
第17题图
(1)解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF.
能力提升
1．(2020·自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE长为( B )
第1题图
A．2 B．
C． D．
2．(2020·扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9.
第2题图
3．(2020·天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 .
第3题图 第4题图
4．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的结论是①②④.(填正确结论的序号)
5．如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝∠DEC，连接CF，DE.
第5题图
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB＝，求CF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，
∴DE∥CF.
∵AD∥BC，∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)解：如答图，过点D作DM⊥EC于点M，
则∠DMC＝∠DME＝90°.
第5题答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF.
∵tan∠DCB＝＝，
∴设DM＝12x，则CM＝5x，
由勾股定理，得(12x)2＋(5x)2＝132，
解得x＝1(负值舍去)，
即CM＝5，DM＝12.
∵CE＝14，∴EM＝14－5＝9.
在Rt△DME中，由勾股定理，得DE＝＝15.
∵四边形DECF是平行四边形，
∴CF＝DE＝15.
6．如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G.
第6题图
(1)求证：AE⊥DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
(1)证明：∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°.
∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠ADF＋∠DAE＝(∠ADC＋∠DAB)＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AE⊥DF.
第5题答图
(2)解：如答图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，
则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10.
在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，
∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，
∴DC＝FC，AB＝EB.
在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，
∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，
∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，
∴FH＝FE＋EH＝12，
DF＝＝＝8.
7．(2019·雅安)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
第7题图 第7题答图
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
(2)解：如答图，过点O作ON∥BC交AB于点N，
则△AON∽△ACB.
∵OA＝OC，∴ON＝BC＝×4＝2，BN＝AB＝×6＝3.
∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，
∴＝，即＝，
解得BE＝1.
中考预测
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( B )
第1题图
A．20 B．16
C．12 D．8
2．如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为( D )
第2题图
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
3．如图，五边形ABCDE是正五边形，△OCD是等边三角形，则∠COB＝66°.
第3题图
4．如图，AC，AD是正五边形的对角线，则∠CAD的度数是36°.
第4题图
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，
EM⊥BC于点M，EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为4.
6．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
第6题图
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的长．
(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC.
∵F是AD的中点，
∴DF＝AD.
∵CE＝BC，
∴DF＝CE.
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)解：如答图，过点D作DH⊥BE于点H.
第6题答图
在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE＝60°.
∵AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴CH＝CD＝2，
∴DH＝2.在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝5，∴EH＝3.在Rt△DHE中，根据勾股定理，得DE＝＝.
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．
第7题图
(1)证明：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∴△ADE∽△FCE.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4.
又∵△ADE∽△FCE，∴＝.
∵AD＝6，CF＝2，∴＝，∴DE＝3.
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