人教版第十二章 全等三角形12.1 全等三角形精品达标测试

期末复习(二)　全等三角形

01　　本章结构图

02　　重难点突破

重难点1　全等三角形的性质与判定

【例1】　(大连中考)如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.

证明：∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.

∵CE∥DF，∴∠D＝∠ACE.

∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.

在△ACE和△BDF中，

∴△ACE≌△BDF(ASA)．∴AE＝BF.

【方法归纳】　要证明两条线段或两个角相等，关键就是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等．

1．(武汉中考)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE.

证明：∵BE＝CF，

∴BC＝EF.

又∵AB＝DE，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF(SSS)．

∴∠ABC＝∠DEF.

∴AB∥DE.

2．(南充中考)已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：

(1)BD＝CE；

(2)∠M＝∠N.

证明：(1)在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴BD＝CE.

(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，

即∠BAN＝∠CAM.

由(1)，得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.

在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN(ASA)．

∴∠M＝∠N.

重难点2　角平分线的性质与判定

【例2】　如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.

【思路点拨】　根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据“HL”判定两个三角形全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥

AC，∴DE＝DF.

在Rt△DBE和Rt△DCF中，

∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．

∴BE＝CF.

【方法归纳】　如果题目中有角平分线上的点，且含有过该点向角的两边作的垂线段(即“垂直”的条件)，就能得到线段相等．即使没有垂线段，也可以过角平分线上的点向角的两边作垂线段，从而证得线段相等．

3．如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG＝MN，△PFG和△PMN的面积相等．试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由．

解：点P在∠AOB的平分线上．理由：作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.

∵S△PFG＝FG·PD，

S△PMN＝MN·PE，

S△PFG＝S△PMN，

∴FG·PD＝MN·PE.

又∵FG＝MN，∴PD＝PE.

∴点P在∠AOB的平分线上．

03　　备考集训

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列说法中正确的个数有(C)

①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP.

A．0个                  B．1个                  C．2个               D．3个

2．满足下列条件，能判定△ABC与△DEF全等的是(D)

A．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F

C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是(D)

A．AB＝AC

B．∠BAE＝∠CAD

C．BE＝DC

D．AD＝DE

4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(D)

A．SSS                    B．SAS              C．AAS            D．ASA

5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是(B)

A．1              B．2              C．3            D．4

6．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝(B)

A．60°            B．55°            C．50°           D．无法计算

7．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)

A．一处  B．两处  C．三处  D．四处

8．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是(A)

A．50

B．62

C．65

D．68

9．(淄博中考)已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(D)

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β

B．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5

D．两条边长是5，一个角是β

10．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(C)

A．AD＋BC＝AB 

B．∠AOB＝90°

C．与∠CBO互余的角有两个 

D．点O是CD的中点

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．(绥化中考)如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是答案不唯一，如：AB＝CD(填出一个即可)．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是2．

13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝6cm.

14．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝30°.

15．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中成立的有①③④(填写正确的序号)．

①PA＝PB；②AB垂直平分OP；③OA＝OB；④PO平分∠APB.

16．如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为(3，4)或(3，－4)或(0，－4)．

三、解答题(共52分)

17．(12分)(宜宾中考)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.

证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，

∴∠DAB＝∠CBA.

在△ADB和△BCA中，

∴△ADB≌△BCA(ASA)．

∴BC＝AD.

18．(12分)(菏泽中考)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.

(1)求证：△ABE≌△CBD；

(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝∠CBD＝90°.

在△ABE和△CBD中，

 ∴△ABE≌△CBD(SAS)．

(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

∴∠ECA＝45°.

∵∠CAE＝30°，

∴∠BEA＝∠ECA＋∠EAC＝45°＋30°＝75°.

由(1)知△ABE≌△CBD，

∴∠BDC＝∠BEA.

∴∠BDC＝75°.

19．(14分)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.

(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

(2)求证：CF＝EF.

解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.

(2)证明：连接AF.

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AB＝AD，BC＝DE，

又∵AF＝AF，∠ABC＝∠ADE＝90°.

∴Rt△ABF≌Rt△ADF.

∴BF＝DF.

又∵BC＝DE，

∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.

20．(14分)如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连接CH.

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)求证：CH平分∠AHE；

(3)求∠CHE的度数．(用含α的式子表示)

解：(1)证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．

(2)证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N.

∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM＝∠CBN.

在△ACM和△BCN中，

∴△ACM≌△BCN.

∴CM＝CN.

∴CH平分∠AHE.

(3)令BC、AH交于点Q.

∵∠AQC＝∠BQH，∠CAD＝∠CBE，

∴∠AHB＝∠ACB＝α.

∴∠AHE＝180°－α.

∴∠CHE＝∠AHE＝90°－α.