初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品习题

章末复习(三)　轴对称

01　　基础题

知识点1　轴对称与轴对称图形

1．(赤峰中考)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③④(填序号)．

2．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？

解：1和3，是，两条．

知识点2　线段的垂直平分线

3．(遂宁中考)如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)

A．1 cm

B．2 cm

C．3 cm

D．4 cm

知识点3　画轴对称图形

4．请作出图中四边形ABCD关于直线a的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．

解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求．

知识点4　等腰三角形

5．(荆门中考改编)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知BD＝4，则BC的长为(C)

A．5

B．6

C．8

D．10

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有(A)

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

知识点5　等边三角形

7．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为(D)

A．15°  B．30°  C．45°  D．60°

8．(义乌中考)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.

知识点6　含30°角的直角三角形的性质

9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝3．

10．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2 cm，则△ABC的周长为12cm.

知识点7　最短路径问题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是(B)

A．3 

B．4 

C．5 

D．6

02　　中档题

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为(A)

A．15°  B．17.5°  C．20°  D．22.5°

13．(雅安中考)如图所示，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，则EC＝8．

14．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1)．

(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)△A1B1C1的面积为4.5．

解：如图所示：△A1B1C1即为所求．

15．如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.

(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；

(2)∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数．

解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，

∴AP＝BP，AQ＝CQ.

∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC.

∵△APQ的周长为12，

∴BC＝12.

(2)∵AP＝BP，AQ＝CQ，

∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ.

∵∠BAC＝105°，

∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°.

∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°.

03　　综合题

16．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC.

(1)当点E为AB的中点时(如图1)，则有AE＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)；

(2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．

解：当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：

过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.

∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF.

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.

∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠ECF.

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF(AAS)．

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.