人教版七年级上册4.3.3 余角和补角精品习题

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人教版数学七年级上册
第4章 4.3.3余角和补角 同步练习
一、单选题
1、在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数（  ）
A、60° B、90° C、120° D、60°或120°
2、如图，已知∠B=30°，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠B=40°，则图中互余的角有（  ）对．

A、4对 B、5对 C、6对 D、7对
3、下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（   ）
A、 B、
C、 D、
4、下列说法：①35=3×3×3×3×3；②﹣1是单项式，且它的次数为1；③若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角；④对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若  = ，则x=y．其中不正确的有（   ）
A、3个 B、2个 C、1个D、0个
5、如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（   ）
A、60° B、50° C、40° D、30°
6、时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（   ）
A、90° B、100° C、105° D、110°
7、如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（    ）

A、互为余角 B、互为补角
C、互为对顶角 D、互为邻补角
8、如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（   ）
A、 B、
C、 D、不能确定
9、已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（   ）

A、相等 B、互余  
C、互补 D、互为对顶角
10、如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角之间关系为（   ）
A、相等 B、互补
C、相等或互补 D、不能确定
11、如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（   ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
12、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（   ）
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
二、填空题
13、如果两个角互补，并且它们的差是30°，那么较大的角是________．
14、若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少2°，则这个角等于________．
15、如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为________．

16、如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是________．
17、看图填空，并在括号内说明理由： 如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E=∠F．
∵∠BAP与∠APD互补，________
∴∠E=∠F．________．

三、解答题
18、一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？




19、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？












20、已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC．









四、综合题
21、如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．
(1)写出图中与∠EOB互余的角；
(2)若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．






























22、如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．





























23、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；
(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

答案解析部分
一、单选题
1、【答案】D
【考点】余角和补角，垂线
【解析】【解答】解：由OC⊥OD，可得∠DOC=90°， 如图1，当∠AOC=30°时，∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；
如图2，当∠AOC=30°时，∠AOD=90°﹣30°=60°，此时，∠BOD=180°﹣∠AOD=120°．

故选D
【分析】根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可．
2、【答案】A
【考点】余角和补角，垂线
【解析】【解答】解：图中互余的角有：∠B与∠BAD，∠C，∠C与∠DAC，∠E与∠F，共4对． 故选A
【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．
3、【答案】B
【考点】余角和补角
【解析】【解答】解：四个选项中，只有选项B满足∠1+∠2=90°， 即选项B中，∠1与∠2互为余角．
故选B．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
4、【答案】B
【考点】单项式，等式的性质，余角和补角，有理数的乘方
【解析】【解答】解：35=3×3×3×3×3，①说法正确，不符合题意； ﹣1是单项式，且它的次数为0，②说法错误，符合题意；
若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角，③说法正确，不符合题意；
对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若  = ，则x与y不一定线段，④说法错误，符合题意，
故选：B．
【分析】根据有理数的乘方的意义、单项式的概念、余角的定义、等式的性质进行判断即可．
5、【答案】A
【考点】余角和补角，平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=30°， ∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵直尺两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故选：A．

【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
6、【答案】C
【考点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30× =105°，
故选：C．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
7、【答案】A
【考点】余角和补角，对顶角、邻补角
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
8、【答案】C
【考点】余角和补角，对顶角、邻补角
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β=180°，
∴ （∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角是：90°﹣∠β= （∠α+∠β）﹣∠β= （∠α﹣∠β），
故选：C．
【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到 （∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得 （∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．
9、【答案】B
【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故选：B．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
10、【答案】C
【考点】余角和补角，平行线的性质
【解析】【解答】解：两个角的两边互相平行， 如图（1）所示，∠1和∠2是相等关系，
如图（2）所示，则∠3和∠4是互补关系．
故选：C．

【分析】根据两个角的两边互相平行及平行线的性质，判断两角的关系即可，注意不要漏解．
11、【答案】C
【考点】余角和补角，垂线，平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥BD， ∴∠CBD=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，
即∠ABC、∠EBF与∠1互余；
∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠C+∠1=90°，
即∠C与∠1互余；
图中与∠1互余的角有3个，
故选：C．
【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余．
12、【答案】B
【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，平行公理及推论，命题与定理
【解析】【解答】解：①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确． 所以真命题有④⑤两个．
故选：B．
【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
二、填空题
13、【答案】
【考点】余角和补角
【解析】【解答】解：设较大角为x，则其补角为180°﹣x， 由题意得：x﹣（180°﹣x）=30°，
解得：x=105°．
故答案为：105°．
【分析】设较大角为x，则其补角为180°﹣x，根据它们的差是30°可列出方程，解出即可．
14、【答案】71.6°
【考点】余角和补角
【解析】【解答】解：设这个角为x， 由题意得，3x=2（180°﹣x）﹣2°，
解得，x=71.6°
故答案为：71.6°．
【分析】设这个角为x，根据题意和补角的概念列出方程，解方程即可．
15、【答案】50°
【考点】余角和补角，平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=40°， ∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°．

【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
16、【答案】相等
【考点】余角和补角
【解析】【解答】解：∵∠2与∠3互余， ∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
故答案为：相等．
【分析】根据同角的余角相等解答．
17、【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【考点】余角和补角，平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（ 两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2（等量代换），即∠3=∠4，
∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质得出∠BAP=∠APC，根据∠1=∠2可得出∠3=∠4，进而得出AE∥PF，据此可得出结论．
三、解答题
18、【答案】解：设这个角的度数为x°， 则根据题意得：180﹣x=3（90﹣x），
解得：x=45，
即这个锐角为45°．
【考点】余角和补角
【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可．
19、【答案】解：∠1=∠2，
理由：∵∠A=∠C=90°，根据四边形的内角和得，∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBC= ∠ABC，∠2= ∠ADC，
∴∠EBC+∠2= ∠ABC+ ∠ADC=90°，
∵FG⊥BE，
∴∠FGB=90°，
∴∠1+∠EBC=90°，
∴∠1=∠2
【考点】余角和补角，角平分线的性质，多边形内角与外角
【解析】【分析】先根据四边形的内角和求出∠ADC+∠ABC=180°，再结合角平分线得出∠EBC+∠2=90°，再利用直角三角形的两锐角互余得出，∠1+∠EBC=90°，即可得出结论．
20、【答案】证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥HF，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1与∠2互补，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．

【考点】余角和补角，平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，那么∠2+∠3=180°，而∠1与∠2互补，从而可证∠1=∠3，即可得出DE∥BC，结合AC⊥BC，易得DE⊥AC．
四、综合题
21、【答案】（1）解：∵OA平分∠COF， ∴∠COA=∠FOA=∠BOD，
∵OE⊥CD，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，
∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD
（2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，
∵OE⊥CD，
∴∠BOE=90°﹣30°=60°
【考点】角平分线的定义，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线
【解析】【分析】（1）由于OA平分∠COF和∠COA与∠BOD是对顶角，得到∠COA=∠FOA=∠BOD，根据垂直定义有∠EOB+∠BOD=90°，根据互为余角的定义即可得到结论；（2）由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，由平角的意义可求得∠DOF，根据垂直定义可求得∠BOE．
22、【答案】（1）解：（1）BF∥DE，理由如下： ∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵BF∥DE，BF⊥AC， ∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∴∠AFG=90°﹣30°=60°．
【考点】余角和补角，垂线
【解析】【分析】（1）由于∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°判断出BF∥DE；（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2=150°得出∠1=30°，得出∠AFG的度数
23、【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【考点】余角和补角，平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．