2021年高考数学二轮复习大题专项练《解析几何》三(含答案)

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2021年高考数学二轮复习大题专项练《解析几何》三1.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．                2.已知椭圆离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D.求证：四边形ABCD的面积为定值．           3.如图，在平面直角坐标系中，已知点F1、F2分别为椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，D(1，0)为线段OF2的中点，且.(1)求椭圆E的方程；(2)若M为椭圆上的动点(异于A、B)，连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问题是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.         4.已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x=－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点.证明：直线OD平分线段MN.               5.设椭圆C：＋=1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2=.若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．证明：∠AOB为定值．                  6.已知椭圆E：过点(0，1)且离心率.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线与两定直线和分别交于P,Q两点．若直线总与椭圆E有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．              7.已知椭圆C经过点，且与椭圆E：＋y2=1有相同的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y=kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．                    8.已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．                      9.已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．                    10.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆经过点，且△PF1F2的面积为2．              （1）求椭圆C的标准方程；              （2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A,B两点，与椭圆C交于C,D两点，且|CD|=λ|AB|(λ∈R*)，当λ取得最小值时，求直线的方程． 
答案解析11.解：(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－，由抛物线的定义可知3－  =4，解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，整理得 =(x1≠x2)．∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴直线l的斜率kAB===－2，∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，设直线l的方程为x=my＋1，由消去x，得y2－4my－4=0. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴==－1，解得m=－，∴直线l的方程为x=－y＋1，即2x＋y－2=0.  12.解:（1）由已知可得：解得：； 所以椭圆C的方程为：． （2）因为椭圆C的方程为：，所以，．设，则，即．则直线BM的方程为：，令，得； 同理：直线AM的方程为：，令，得．所以．即四边形ABCD的面积为定值2．13.解：(1)∵＋5=0，∴=5.∴a＋c=5(a－c)，化简得2a=3c，故椭圆E的离心率为.(2)存在满足条件的常数λ，λ=－.点D(1，0)为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，b=，左焦点F1(－2，0)，椭圆E的方程为=1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x=y＋1，代入椭圆方程=1，整理得，y2＋y－4=0.∵y1＋y3=，∴y3=.从而x3=，故点P.同理，点Q.∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2－x2y1=2(y1－y2)．从而k2=，故k1－=0，从而存在满足条件的常数λ=－14.解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为＋=1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF==－，当n=0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN==.∵点M，N在椭圆上，∴整理得：＋=0，又2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，∴=－，直线OP的斜率为kOP=－，∵直线OD的斜率为kOD=－，∴直线OD平分线段MN. 15.解：(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1.又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，故椭圆C的方程为＋y2=1，“相关圆”E的方程为x2＋y2=.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x=，A，B，则∠AOB=.当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2＋2(kx＋m)2=2，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2=0，Δ=16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)=8(2k2－m2＋1)>0，即2k2－m2＋1>0，因为直线l与“相关圆”E相切，所以==，即3m2=2＋2k2，所以x1x2＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2=－＋m2==0，所以⊥，所以∠AOB=.综上，∠AOB=，为定值．  16.解：  17.解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)，设椭圆C的标准方程为＋=1(a＞b＞0)，则解得所以椭圆C的标准方程为＋=1.(2)联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2-12=0，所以Δ=64k2m2-4(3＋4k2)(4m2-12)=0，即m2=3＋4k2.设P(xP，yP)，则xP==，yP=kxP＋m=＋m=，即P.假设存在定点M(s，t)满足题意，因为Q(4,4k＋m)，则=，MQ=(4-s,4k＋m-t)，所以·=(4-s)＋(4k＋m-t)=(1-s)-t＋(s2-4s＋3＋t2)=0恒成立，故解得所以存在点M(1,0)符合题意．  18.解：(1)由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y=kx＋2，与y2=4x联立，整理得ky2－4y＋8=0.①由Δ1=16－32k＞0，解得k＜.直线n的方程为y=－x＋2，与y2=4x联立，整理得y2＋4ky－8k=0，由Δ2=16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2.所以故k的取值范围为(－∞，－2)∪.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2=，则y0=，x0=－，则M.同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率kMQ==－，直线NQ的斜率kNQ==－=kMQ，所以直线MN过定点Q(2,0)．   19.解：(1)由已知条件，得b=，且×=3，∴a＋c=3.又a2－c2=3，∴a=2，c=1，∴椭圆的方程为＋=1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x=my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9=0.∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴y1＋y2=，y1y2=－.∴S△F2AB=|F1F2||y1－y2|=|y1－y2|==12=4=4，令t=m2＋1≥1，设f(t)=t＋，易知t∈时，函数f(t)单调递减，t∈时，函数f(t)单调递增，∴当t=m2＋1=1，即m=0时，f(t)取得最小值，f(t)min=，此时S△F2AB取得最大值3.  20.解：