初中数学27.2 相似三角形综合与测试测试题

这是一份初中数学27.2 相似三角形综合与测试测试题，共4页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
方法1 三点定型法


要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形．





1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.





证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，


∴△ABC∽△ADE，


∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，


即AB·AE＝AC·AD.





2．如图，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.





证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，


∴△ABD∽△ACB.


∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AB).


∴AB2＝AD·AC.





3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.





证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，


∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.


∴∠A＝∠DCE.


又∵DF垂直平分AB，


∴∠BDF＝90°.


∴∠B＋∠F＝90°.


∴∠DCE＝∠F.


又∵∠CDE＝∠FDC，


∴△CDE∽△FDC.


∴eq \f(CD,FD)＝eq \f(DE,DC)，即CD2＝DE·DF.





4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求证：BD·CD＝BE·CF.





证明：∵△ABC中，AB＝AC，


∴∠B＝∠C.


∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，


∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，


∴∠FDC＝∠DEB.


∴△BDE∽△CFD.


∴eq \f(BD,CF)＝eq \f(BE,CD)，


即BD·CD＝BE·CF.





方法2 等线段代换法


从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形．





5．已知：如图，在▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.





证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC.


∴∠ADF＝∠E.


∴△ADF∽△CED.


∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,CD).


∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,AB)，即AD·AB＝AF·CE.








6．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.








证明：∵△ADE是等边三角形，


∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.


∴∠ADB＝∠AEC＝120°，


∠B＋∠BAD＝60°.


又∵∠BAC＝120°，


∴∠B＋∠C＝60°.


∴∠BAD＝∠C.


∴△ABD∽△CAE.


∴eq \f(BD,AE)＝eq \f(AD,CE).


∴eq \f(BD,DE)＝eq \f(DE,CE)，


即DE2＝BD·CE.








7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·PF.





证明：连接PC.


在△ABC中，∵AB＝AC，D为BC的中点，


∴AD垂直平分BC.


∴PB＝PC.


∴∠PBC＝∠PCB.


∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，


∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，


即∠ABP＝∠ACP.


∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.


∴∠ACP＝∠F.


又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.


∴eq \f(PC,PE)＝eq \f(PF,PC).


∵PC＝PB，


∴eq \f(PB,PE)＝eq \f(PF,PB)，即PB2＝PE·PF.





方法3 等比代换法(找中间比)


要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．





8．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：eq \f(DP,BQ)＝eq \f(PE,QC).





证明：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.


∴DP∶BQ＝AP∶AQ.


同理△AEP∽△ACQ，


∴PE∶QC＝AP∶AQ.


∴DP∶BQ＝PE∶QC，即eq \f(DP,BQ)＝eq \f(PE,QC).








9．如图，在▱ABCD的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于E、G，又与BC、AD两边交于F、H，求证：eq \f(PE,PG)＝eq \f(PF,PH).





证明：在▱ABCD中，


∵AB∥CD，AD∥BC，


∴eq \f(PE,PG)＝eq \f(PB,PD)，eq \f(PF,PH)＝eq \f(PB,PD).


∴eq \f(PE,PG)＝eq \f(PF,PH).





10．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：


(1)△ACE≌△BCD；


(2)eq \f(AG,CG)＝eq \f(AF,EF).





证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，


∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.


∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，


即∠ACE＝∠BCD.


∴△ACE≌△BCD(SAS)．


(2)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，


∴AB＝AC，CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°.


∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(AC,ED)，AB∥DC.


∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG.


∴△ABG∽△CDG.


∴eq \f(AG,CG)＝eq \f(AB,CD).同理eq \f(AF,EF)＝eq \f(AC,ED)，∴eq \f(AG,CG)＝eq \f(AF,EF).





























方法4 等积代换法(找中间积)





常用到基本图形的结论找中间积．





11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.





证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，


∴∠ADB＝∠AED＝90°.


又∵∠DAE＝∠BAD，


∴△ADE∽△ABD.


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AD)，即AE·AB＝AD2.


同理，△ADF∽△ACD，


∴AF·AC＝AD2.


∴AE·AB＝AF·AC.








12．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：eq \f(BG,AB)＝eq \f(AB,BE).





证明：∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，


∴△BGD∽△BCE.


∴eq \f(BG,BC)＝eq \f(BD,BE)，


即BG·BE＝BC·BD.


又∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，


∴△ABD∽△CBA.


∴eq \f(AB,CB)＝eq \f(BD,BA)，即BC·BD＝AB2.


∴BG·BE＝AB2，即eq \f(BG,AB)＝eq \f(AB,BE).








13．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.





证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，DE⊥AB，


∴∠ADB＝∠BED＝90°.


∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.


∴∠EBD＝∠EDA.


∴△AED∽△DEB.


∴DE2＝AE·BE.


又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，


∴∠EBG＝∠H.


∵∠BEG＝∠HEA＝90°，


∴△BEG∽△HEA.


∴eq \f(EG,AE)＝eq \f(BE,HE)，即EG·EH＝AE·BE.


∴DE2＝EG·EH.